Es complicado. La teoría de categorías en sí misma no introduce axiomas. Simplemente define categorías y deriva sus propiedades. Pero la definición de una categoría supone la existencia de una teoría más profunda, sin especificarla realmente. Entonces, algunas personas dicen que la TC es una teoría BYOST: Traiga su propia teoría de conjuntos.
Para ver esto, echemos un vistazo a la definición de una categoría. Es una colección de objetos y un conjunto de flechas entre dos objetos. ¿Qué es una colección y qué es un conjunto?
Para empezar, no existe una teoría única de conjuntos. La más popular es la teoría ZFC: Zermello, Fraenkel, con Choice. Esta teoría tiene sus axiomas. Puede conectar axiomas ZFC en la definición de categoría, donde dice “conjunto de flechas”. O bien, puede enchufar el ZF (sin C) o alguna otra teoría que defina conjuntos.
- ¿Qué es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y sus axiomas? ¿Cómo se puede explicar de una manera simple?
- Hablando intuitivamente, ¿qué representa una transformación de Laplace?
- ¿Cuál es la fórmula correcta sobre la fórmula de Euler, e ^ (it) o e ^ (i * t)?
- Cómo encontrar trillizos pitagóricos con un número dado
- Cómo descargar el software MATLAB
También puede intentar identificar la colección (como en “colección de objetos”) con set. Esto funcionará, pero no podrá definir algunas de las categorías más interesantes, como la categoría Conjunto de conjuntos. Una categoría de conjuntos tendría conjuntos como objetos. Desafortunadamente, en ZFC, puedes probar que no hay un conjunto de todos los conjuntos (Paradoja de Russel). Los objetos en Set no forman un conjunto.
Una categoría en la que los objetos forman un conjunto se denomina categoría pequeña . Set no es una categoría pequeña.
Es por eso que necesitamos otro elemento conectable en la definición de una categoría: una teoría de colecciones.
Un enfoque es asumir la existencia de universos (universos de Grothendieck). Un universo es un conjunto que tiene algunas propiedades específicas. Estas propiedades garantizan, entre otras, que todos los subconjuntos de conjuntos que están en el universo también son elementos del universo. El axioma de los universos es que cada conjunto pertenece a algún universo. Los elementos de un universo dado se llaman conjuntos pequeños . Si sus objetos son conjuntos pequeños, entonces todos son miembros de algún universo. Por lo tanto, cada categoría se basa en algún universo de objetos. Un universo sigue siendo un conjunto, pero siempre puedes “actualizar” los universos de tu categoría. Cualquier universo es miembro de algún universo superior, etc.
Otro enfoque es utilizar la teoría de von Neumann-Bernays-Goedel, que define las clases que son “más grandes que los conjuntos”. Su axioma principal es que una clase es un conjunto si pertenece a otra clase. En NBG, puede definir una clase de todos los conjuntos, por lo que la categoría Conjunto está bien definida.
Tenga en cuenta que las leyes de una categoría (asociatividad y leyes de unidad) no son axiomas de la teoría de categorías. A veces se denominan axiomas de categoría , lo que significa que, si se le da una cosa como categoría, puede tomarlos como dados. (Ver la respuesta de Tikhon Jelvis)
