Como la idea de cubrir un conjunto de una familia de conjuntos ya es bastante intuitiva, me pregunto si la pregunta es sobre razones intuitivas para estudiar conjuntos de cobertura.
Veamos primero la teoría de la medida. Supongamos que tenemos un conjunto de puntos contenidos en un rectángulo. Queremos, si es posible, definir una medida del conjunto, una especie de generalización del área. Si cubre el conjunto con rectángulos, la medida (si existe) es menor que la suma de las áreas de los rectángulos de cobertura. Si piensa en rectángulos de cobertura cada vez más pequeños con muy poca superposición, la suma de sus áreas estará muy cerca de lo que se conoce como la medida exterior del conjunto. Si hace lo mismo para el complemento en el rectángulo que lo encierra, se acerca a la medida exterior del complemento. Si toma el límite en ambos casos y la suma de los límites es el área del rectángulo delimitador, el conjunto es medible y la medida es el límite definido por los primeros conjuntos de cobertura. Esto no está redactado de manera bastante rigurosa, pero solo pediste intuición. Esta idea se generaliza a cualquier espacio para el que algunos conjuntos tienen una medida predefinida (como los rectángulos en este ejemplo) y queremos extender la medida a una familia más amplia de conjuntos.
La cobertura en espacios topológicos surgió primero en relación con el teorema de Heine-Borel. Cauchy dio una definición formal de una integral y demostró que una función continua en un intervalo es integrable. Pero cometió un error al no distinguir entre continuidad en todas partes en el intervalo con continuidad uniforme. Habría sabido que f (x) = 1 / x no es integrable en el intervalo (0, 1) a pesar de que es continuo en ese intervalo. Más tarde, Heine demostró que una función que es continua en un intervalo cerrado cerrado es uniformemente continua y Borel analizó la prueba y formuló la idea de compacidad. La integral de Cauchy se basó en subdividir el intervalo en pedazos pequeños. Su prueba utilizó la continuidad para mostrar que los valores de la función en los puntos finales de estos pequeños intervalos se aproximaron a la función durante todo el intervalo. Recuerde pruebas de delta epsilon. Para dar un épsilon, su prueba requería que se pudiera elegir el delta correspondiente para todo el intervalo de integración. Ese es el punto que Cauchy se perdió. El Heine-Borel llenó el vacío al mostrar que una cobertura por un número infinito de conjuntos de longitud menor que delta, donde cada conjunto podría involucrar un delta diferente puede ser reemplazado por una cubierta finita por conjuntos cuyas longitudes son menores que un delta dado. No entraré en más detalles: busque la prueba del resultado de Cauchy. Luego, busca el teorema y la compacidad de Heine-Borel.
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