Matemática Aplicada: ¿Por qué la transformación de Laplace convierte la convolución en multiplicación?

Intenta pensar en distribuciones de probabilidad. Suponga que tiene distribuciones de probabilidad para variables independientes [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]. Muestra una vez de cada uno de ellos y agrega los resultados. La suma es una nueva variable aleatoria, que llamaremos [matemáticas] C [/ matemáticas].

Para ver cuál es la distribución de probabilidad para [matemáticas] C [/ matemáticas], pregunte, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que [matemáticas] C = 7 [/ matemáticas]? Hay muchas maneras de que eso suceda. Podríamos tener [matemáticas] A = 2, B = 5 [/ matemáticas] o [matemáticas] A = 13, B = -6 [/ matemáticas], etc. En general, si [matemáticas] A = a [/ matemáticas] , entonces necesitamos [matemáticas] B = 7-a [/ matemáticas]. La probabilidad total de [matemática] C = 7 [/ matemática] viene de sumar todas las formas posibles para que suceda, entonces

[matemáticas] P_C (7) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty P_A (a) P_B (7-a) da [/ math]

o más generalmente

[matemáticas] P_C (c) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty P_A (a) P_B (ca) da [/ math]

Esta es exactamente la convolución de [matemáticas] P_A [/ matemáticas] y [matemáticas] P_B [/ matemáticas].

La transformada de Laplace de [math] P_C [/ math] se define como

[math] \ mathcal {L} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {tc} P_C (c) dc [/ math]

que es exactamente lo que se entiende por un valor esperado

[matemáticas] \ matemáticas {L} (t) = \ langle e ^ {tc} \ rangle [/ matemáticas]

pero [matemáticas] c [/ matemáticas] es una suma de [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ matemáticas {L} (t) = \ langle e ^ {t (a + b)} \ rangle = \ langle e ^ {ta} e ^ {tb} \ rangle = \ langle e ^ {ta} \ rangle \ langle e ^ {tb} \ rangle [/ math]

Entonces, la transformación de Laplace de la convolución de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] es el producto de sus transformaciones de Laplace.

vea también la respuesta de Mark Eichenlaub a ¿Qué es una explicación intuitiva de una función generadora de momentos?

1. La transformada de Laplace es un operador, por ejemplo, un mapeo entre dos espacios vectoriales (es decir, el plano zys).
2. Los operadores de cualquier espacio vectorial para sí mismos forman un álgebra asociativa unital,
   [math] (AB) \ textbf {x}: = A (B \ textbf {x}) [/ math] para [math] A, B: z \ rightarrow s [/ math]
   2.1 Las matrices reales 2 × 2 forman un álgebra asociativa .
   2.2 Los números complejos forman un álgebra asociativa unital bidimensional sobre los números reales.
   2.3 Los polinomios con coeficientes reales forman un álgebra asociativa unital sobre los reales.
3. Álgebra de grupo del grupo [matemática] G [/ matemática] [1] en [matemática] K [/ matemática] [[matemática] KG [/ matemática]] es el álgebra asociativa sobre un campo [matemática] K [/ matemática] , cuyos elementos son todas las sumas finitas posibles del tipo [math] \ Sigma_ {g \ in G} \ alpha_g g, g \ in G, g _ {\ alpha} \ in K [/ math]. Las operaciones en este álgebra se definen como:
   [matemáticas] \ Sigma_ {g \ en G} \ alpha_g g + \ Sigma_ {g \ en G} \ beta_g g = \ Sigma_ {g \ en G} (\ alpha_g g + \ beta_g g) [/ matemáticas] (3.1)
   Y
   [matemáticas] (\ Sigma_ {g \ en G} \ alpha_g g) (\ Sigma_ {g \ in G} \ beta_g g) = \ Sigma_ {h \ en G} (\ Sigma_ {xy = h \\ x, y \ en G} [/ matemática] [matemática] ({\ alpha_x} {\ beta_y}) h) [/ matemática] (3.2).
4. El álgebra [matemática] KG [/ matemática] es isomorfo al álgebra de funciones definidas en [matemática] G [/ matemática] con valores en [matemática] K [/ matemática] que asumen solo un número finito de valores distintos de cero; En este álgebra, la multiplicación es la convolución de estas funciones.
5. Sabiendo que, en su ‘forma discreta, la convolución se interpreta como producto de polinomios & 2.3, solo es evidente que, (3.2) se puede transformar en’ Laplace de convolución = producto de los Laplaces ‘en caso límite.

[1] Los elementos de [matemática] G [/ matemática] forman la base de este álgebra y la multiplicación de elementos básicos en el álgebra grupal es inducida por la multiplicación grupal.

Si está buscando intuición, lea algunas de estas otras buenas respuestas después de leer esta.

Considere la Transformada discreta de Fourier (DFT) para un marco finito que comprende, esencialmente, polinomios. El punto clave para la intuición es que una aplicación de la transformación convierte un polinomio parametrizado por sus coeficientes en un polinomio parametrizado por sus valores evaluados en un conjunto dado de puntos / números. Es fácil ver que la multiplicación puntual es significativa entre las funciones descritas por sus valores en un conjunto común de puntos. Resulta que la convolución es cómo debes calcular exactamente la misma función de resultado si trabajas con coeficientes. Pero las manipulaciones basadas en coeficientes son mucho más difíciles si solo tiene las evaluaciones puntuales. Entonces hacemos la aritmética donde es más fácil, a costa de un DFT o dos.

Para cualquier transformación, puede ser útil considerarlo (probablemente) como isomorfismo de un álgebra a otro. Si las operaciones en las dos álgebras no son iguales, puede elegir cuál de las versiones isomórficas usará para facilitarle la vida. A menudo, la compensación se reduce a algo que parece una convolución en un espacio a algo así como la multiplicación en el otro.

Hay muchos detalles diabólicos, pero la intuición de las transformaciones polinómicas puede ayudar al mirar otras situaciones.