El teorema del binomio te dice que:
[matemáticas] (A + B) ^ N = \ sum_ {i = 0} ^ {N} A ^ i B ^ {Ni} \ frac {N!} {i! (Ni)!} [/ Matemáticas]
En su caso, [matemática] A = \ frac {1} {2} x [/ matemática] y [matemática] B = -y [/ matemática] Entonces obtiene:
[matemáticas] (\ frac {1} {2} xy) ^ 5 = (\ frac {1} {2} x) ^ 5 -5 (\ frac {1} {2} x) ^ 4 y
[/ matemáticas] [matemáticas]
+ 10 (\ frac {1} {2} x) ^ 3 y ^ 2- 10 (\ frac {1} {2} x) ^ 2 y ^ 3 +5 (\ frac {1} {2} x) y ^ 4- y ^ 5 [/ matemáticas]
Podemos notar algunas cosas sobre esta expansión. En primer lugar, los poderes de [math] y [/ math] y [math] \ frac {1} {2} x [/ math] siempre suman 5. No debería sorprendernos de dónde viene ese. Entonces, una forma rápida de escribir tal potencia es escribir todas las combinaciones posibles de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] que se suman a [matemáticas] N [/ matemáticas]. Haga esto de manera ordenada y podrá obtenerlo muy rápido.
Ahora, en cuanto a los coeficientes, están oficialmente dados por esa desagradable expresión con factoriales, pero también puedes leerlos en el Triángulo de Pascal. Una vez que sabes cómo escribirlo rápidamente, todo es pan comido.
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