Impresionante pregunta! Me recuerda un poco a las preguntas del concurso de matemáticas … de todos modos, aquí está mi solución.
[matemáticas] a_n = a_ {n-1} \ veces (4 – \ frac {2} {n}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = a_ {n-2} \ veces (4 – \ frac {2} {n-1}) \ veces (4- \ frac {2} {n}) [/ matemáticas]
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Podemos seguir sustituyendo [math] a_k [/ math] por [math] a_ {k-1} \ times (4- \ frac {2} {k}) [/ math] de esta manera para obtener
[matemáticas] a_n = a_0 \ veces (4- \ frac {2} {1}) \ veces (4- \ frac {2} {2}) \ veces [/ matemáticas] [matemáticas] \ cdots \ veces (4- \ frac {2} {n}) [/ matemáticas]
Sabemos [math] a_0 = 1 [/ math], por lo que podemos cancelar esto.
Luego podemos convertir cada paréntesis en una fracción impropia para obtener
[matemáticas] a_n = \ frac {2} {1} \ times \ frac {6} {2} \ times \ cdots \ times \ frac {4n-2} {n} [/ math]
Simplemente multiplicamos los numeradores y denominadores por separado para obtener
[math] a_n = \ frac {2 \ times 6 \ times 10 \ times \ cdots \ times (4n-2)} {n!} [/ math]
Luego sacamos un múltiplo de 2 de cada término del numerador y los consideramos juntos para obtener
[matemáticas] a_n = \ frac {2 ^ n \ veces (1 \ veces 3 \ veces \ cdots \ veces (2n-1))} {n!} [/ matemáticas]
Para que esto sea un entero, el denominador debe dividir el numerador. En otras palabras, cada factor primo del denominador también está en el numerador. Consideraremos primero el factor 2.
Claramente, el numerador tiene [matemática] n [/ matemática] lotes de 2 en su factorización prima. El denominador tiene
[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {n} {2} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac {n} {4} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor \ frac {n} { 2 ^ k} \ right \ rfloor [/ math]
lotes de 2 en su factorización prima, donde [matemática] 2 ^ k [/ matemática] es la mayor potencia de 2 que divide [matemática] n [/ matemática] (esto se debe a que un 2 aparece cada dos números y un 4 aparece cada cuarto número, etc. La suma
[matemáticas] \ frac {n} {2} + \ frac {n} {4} + \ cdots [/ matemáticas]
es una progresión geométrica, por lo que sabemos que converge a [matemáticas] n [/ matemáticas]
Como usamos la función de piso y teníamos un número finito de términos, sabemos que hay menos 2 en el denominador que numerador.
Ok, ahora solo necesitamos enfocarnos en los factores extraños. Afortunadamente, esto es bastante fácil: solo observe que el numerador y el denominador tienen términos [matemáticos] n [/ matemáticos] en su producto (excluyo el término [matemáticos] 2 ^ n [/ matemáticos] en el numerador), y la frecuencia de cada factor impar es la misma en cada uno (por ejemplo, [matemática] 3 [/ matemática] ocurre cada tres términos en cada uno).
Por lo tanto, los factores del denominador también son facetas del numerador, por lo que sabemos que nuestro número es un número entero. Trivialmente, [matemáticas] a_n> 0 [/ matemáticas] desde nuestra fórmula
[math] a_n = \ frac {2 \ times 6 \ times \ cdots \ times (4n-2)} {n!} [/ math]
contiene solo enteros positivos.
Espero que esto haya ayudado; si fuera demasiado breve / poco claro sobre algún punto, me complacería agregar información adicional en los comentarios.
