Daniel Haas estaba muy correcto. Este es un problema dificil. Comencé a atacarlo pero comenzó a tomar demasiado tiempo. No soy ingeniero y la mayor parte de este material es nuevo para mí. Publicaré lo que tengo hasta ahora.
Un buen artículo de Wikipedia de referencia, además del vinculado por Daniel Haas, es la teoría del haz de Euler-Bernoulli. Hay una cosa en el artículo que me confunde: parece usar la misma variable para referirse a la curva de la viga y el eje x. Esto probablemente se deba a que la teoría solo se aplica a las cepas más pequeñas donde son básicamente las mismas, pero me confunde. La distinción probablemente no sea tan importante para las aplicaciones normales, pero creo que es para esta.
ANTECEDENTES
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Algunos otros antecedentes:
- Esto es similar al problema de catenaria (PlanetMath), que pregunta cuál es la forma de una cadena colgante cuando está sujeta a la gravedad. La solución de este problema implicará algunos trucos de cálculo (ecuación de Euler-Lagrange, multiplicador de Lagrange) que hace la solución del problema de catenaria.
- El módulo de Young (llamado E en el artículo wiki; lo llamaré Y) mide la resistencia del metal sujeto a compresión. La tensión en un segmento de metal que se ha comprimido una cantidad fraccional [matemática] \ epsilon [/ matemática] es [matemática] F = – AY \ epsilon [/ matemática], lo que lleva a una densidad de energía por unidad de longitud [matemática] u_Y = \ frac {A} {2} Y \ epsilon ^ 2 [/ math]
- El momento de inercia del área (llamado I en el artículo wiki; lo llamaré J) es un parámetro que codifica cómo la sección transversal de la viga afectará su flexión. No especificó mucho sobre la sección transversal, así que lo llamaré J. Si la sección transversal es circular, parece que J será proporcional a la cuarta potencia del radio.
- El metal puede comprimirse, y hay una cantidad total de energía de compresión [matemática] U = 1/2 ALY \ epsilon ^ 2 [/ matemática] o [matemática] U = 1/2 AY (\ Delta L) ^ 2 / L [/ math], donde A es el área de la sección transversal del metal. Si asumimos que la sección transversal del metal es muy grande, entonces no se comprimirá demasiado. Examinaré cuán realista es esto a continuación.
CONFIGURANDO EL PROBLEMA
Seamos una posición de representación variable en el metal. Deje que la longitud sin comprimir de la barra sea L = 1 milla y la cantidad de compresión sea [matemática] \ Delta L [/ matemática] = 1 pie. Deje que los puntos finales de la barra sean P1 = (0,0) y P2 = (L ‘, 0) donde es igual a [matemática] L’ = L – \ Delta L [/ matemática] = 1 milla – 1 pie. Imagine que el metal traza una curva que y (x) comienza en P1 (entonces y (0) = 0) y termina en P2 (entonces y (L ‘) = 0).
La viga de flexión tiene algo de energía almacenada debido al hecho de que se está doblando, como se explica en el artículo de Wikipedia. La desviación w (s) es solo la curva y (x) en el punto x correspondiente a la porción de la viga a la longitud s, es decir w (s) = y (x (s)). Pero [matemáticas] x (s) \ aprox s [/ matemáticas] ya que la curva de la viga es pequeña, entonces w (s) = y (x), básicamente (esta es la parte que me incomoda un poco). Entonces, la energía por unidad de longitud
[matemáticas] U_B = \ frac {J} {2} Y \ left (\ frac {\ partial ^ 2 y} {\ partial x ^ 2} \ right) ^ 2 [/ math]
La barra también se puede comprimir. Para simplificar, suponga que la compresión [math \ epsilon [/ math] es la misma en todas partes. Entonces hay una cantidad de energía potencial
[matemáticas] U_C = \ frac {AL} {2} Y \ epsilon ^ 2 = 1/2 AY \ frac {(\ Delta L) ^ 2} {L} [/ matemáticas]
donde A es el área de la sección transversal de la viga. También tiene energía potencial gravitacional por unidad de longitud. Deje que [math] \ mu [/ math] sea la masa por unidad de longitud del haz, por lo que la energía potencial es
[matemáticas] U_G = \ mu gy [/ matemáticas]
Entonces, la energía total del haz es esta densidad de energía integrada en todo el haz:
[matemáticas] \ int_ {P1} ^ {P2} \ left (\ frac {J} {2} Y \ left (\ frac {\ partial ^ 2 y} {\ partial x ^ 2} \ right) ^ 2 + \ mu gy (x) \ right) \, ds + \ frac {AL} {2} Y \ epsilon ^ 2 [/ math].
Además, tenemos la restricción de que la longitud de la barra [matemática] (1 – \ epsilon) L [/ matemática] después de haber sido comprimida.
[matemáticas] \ int_ {P1} ^ {P2} \, ds = \ int_0 ^ {L ‘} \ sqrt {1 + \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2} \, dx = ( 1 – \ epsilon) L [/ matemáticas]
Esto también se puede escribir
[matemáticas] \ int_ {P1} ^ {P2} \ frac {1} {1 – \ epsilon} \, ds \ approx \ int_ {P1} ^ {P2} (1 + \ epsilon) \, ds = L [/ matemáticas]
cuál es la forma necesaria para poner esto en una restricción multiplicadora de Lagrange (ya que epsilon es un parámetro libre y pertenece a la izquierda).
Esta raíz cuadrada es molesta, pero podemos hacer una aproximación útil. Dado que dy / dx representa el cambio fraccional de altura de la barra, debe ser muy pequeño ya que la barra es muy larga en comparación con un pie. Entonces, haré la siguiente aproximación:
[matemáticas] \ sqrt {1 + \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2} \ aprox 1 + \ frac {1} {2} \ left (\ frac {dy} {dx} \ right ) ^ 2 [/ matemáticas]
¿Se doblará la barra hacia arriba o solo se comprimirá?
Vamos a estimar la cantidad de energía requerida para hacer cualquiera de los dos. Primero, tomemos el caso de que la barra se dobla hacia arriba pero no se comprime en absoluto. si pretendemos que dy / dx es constante, para hacer una estimación de orden de magnitud, la restricción integral dice que
[matemática] L ‘+ \ frac {L’} {2} \ izquierda (\ frac {dy} {dx} \ derecha) ^ 2 \ aprox. L [/ matemática]
pero como L = 1 milla y L ‘= 1 milla – 1 pie, esto significa que
[matemática] \ izquierda (\ frac {dy} {dx} \ derecha) ^ 2 \ aprox \ frac {2 \ Delta L} {L ‘} \ aprox \ frac {1} {2640} [/ matemática]
entonces el orden de magnitud de dy / dx es aproximadamente 1/50. Podemos usar esto para obtener una estimación de qué tan alto del suelo estará la viga. Si suponemos que la viga forma un triángulo (solo para fines de estimación), el triángulo tiene una base de aproximadamente 1 milla (L) y una altura de aproximadamente 1/100 de milla (L / 100). Entonces, podemos aproximar la energía potencial gravitacional del haz:
[matemáticas] \ mu g \ int_0 ^ A y \, dx \ aprox \ frac {1} {200} \ mu g L ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora podemos comparar esto con la energía potencial elástica si el haz se hubiera comprimido, en lugar de empujarlo desde el suelo para formar un arco. En este caso,
[matemáticas] \ epsilon = \ frac {\ Delta L} {L} \ aprox \ frac {1} {5280} [/ matemáticas]
La energía potencial elástica sería entonces
[matemática] U_C = \ frac {AL} {2} Y \ epsilon ^ 2 \ approx \ frac {1} {5.6 \ times 10 ^ 7} YAL [/ math]
Ciertamente parece que este último será mucho más pequeño en magnitud que el primero. Por un lado, es proporcional a la longitud L de la barra, mientras que la energía gravitacional es proporcional a L ^ 2. Desde [math] \ mu / A = \ rho [/ math], encontré usando WolframAlpha (que conoce parámetros materiales como la densidad y el módulo de Young) que la relación de estos es
[matemática] R \ aprox 280000 \ frac {\ rho g L} {Y} \ aprox 170 [/ matemática]
Por lo tanto, inclinarse hacia arriba no se ve favorecido energéticamente, y ni siquiera he factorizado la energía de flexión requerida para el segundo caso Esto hace que la física real responda a su problema de que la barra de acero simplemente se comprimirá y no se doblará en absoluto.
¿Qué pasa en el espacio?
¿Qué pasaría si hiciéramos esto es un espacio interestelar donde no había gravedad para hablar? Entonces podríamos ignorar el componente de energía gravitacional, y el rayo podría doblarse. Sin embargo, no hay garantía de que esto sea energéticamente preferible a simplemente comprimir. Al unir las energías involucradas y la restricción, podemos poner esto en un problema de minimización del multiplicador de Lagrange (vea la página sobre el problema de catenaria) donde debemos minimizar
[matemáticas] U = \ int_0 ^ A \ left (\ frac {1} {2} JY \ left (\ frac {\ partial ^ 2 y} {\ partial x ^ 2} \ right) ^ 2 – (1 + \ epsilon) \ lambda \ right) [/ math]
[matemáticas] \ veces \ sqrt {1 + \ izquierda (\ frac {dy} {dx} \ derecha) ^ 2} \, dx + \ frac {AL} {2} Y \ epsilon ^ 2 [/ matemáticas]
No quiero atacar este problema, donde el hecho de que la barra puede comprimir conduce a otra variable que puede complicar las cosas.
¿QUÉ SUCEDE EN EL ESPACIO Y POR ALGUNA RAZÓN QUE EL ACERO SE ACABA Y NO SE COMPRIME?
Para comenzar con un problema más fácil, digamos que el rayo no se comprime, así que [math] \ epsilon = 0 [/ math]. Entonces debemos minimizar
[matemáticas] U = \ int_0 ^ A \ left (\ frac {1} {2} JY \ left (y ” \ right) ^ 2 – \ lambda \ right) \ sqrt {1 + \ left (y ‘\ right ) ^ 2} \, dx [/ math]
Usando la aproximación hecha anteriormente, esto es
[matemáticas] U = \ int_0 ^ A \ left (\ frac {1} {2} JY \ left (y ” \ right) ^ 2 – \ lambda \ right) \ left (1 + \ frac {1} {2 } \ left (y ‘\ right) ^ 2 \ right) \, dx [/ math]
Minimizar esto es un problema de cálculo de variaciones. Llame al integrando u. Primero, calculamos las derivadas funcionales
[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial y ‘} = \ left (\ frac {1} {2} JY \ left (y’ ‘\ right) ^ 2 – \ lambda \ right) y’ [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial y ”} = JY y ” \ left (1 + \ frac {1} {2} \ left (y ‘\ right) ^ 2 \ right) [/ matemáticas]
Entonces la ecuación de Euler-Lagrange dice que el mínimo y viene dado por la solución a
[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial y ‘} – \ frac {d} {dx} \ frac {\ partial u} {\ partial y’ ‘} = 0 [/ math]
que es una ecuación diferencial complicada
