¿Cuál es la motivación detrás de la definición de verdadero como el valor de verdad de (A implica B) cuando A es falso independientemente del valor de verdad de B?

Primero p-> q es un operador que simplemente verifica los operandos si satisfacen o no una idea 1) cuando p entonces debe ser q OR 2) cuando no es p entonces debe ser q o no q. Si están satisfechos, da verdadero, de lo contrario falso. Especialmente escribí cuándo en lugar de por lo tanto porque implica operador no significa que de alguna manera podamos derivar q de p. Alan Bustany lo mostró muy bien. Si puede derivar, por ejemplo, x = 2 -> x ^ 2 = 4, puede tratar a implica como un operador que verifica las posibles consecuencias lógicas entre p y q. Finalmente me gustaría enfatizar que implica es operador: tiene dos entradas y una salida. A veces -> se usa incorrectamente como puntuación en lugar del signo Por lo tanto. Lleva a confundir.

Considere este ejemplo, de
Peter Suber, “Paradojas de la implicación material”

“Por ejemplo, tome la declaración condicional,” Si estoy sano, lo haré
vengan a clase “. Podemos simbolizarlo, H C. La pregunta es: cuándo es
esta afirmación es falsa? ¿Cuándo habré roto mi promesa?

En el caso # 1, estoy sano y vengo a clase. Claramente he mantenido mi
promesa; El condicional es verdadero.
En el caso # 2, estoy sano, pero he decidido quedarme en casa y leer
revistas He roto mi promesa; El condicional es falso.
En el caso # 3, no estoy sano, pero he venido a clase de todos modos. soy
estornudando sobre ti, y no estás contento con eso, pero yo no
viola mi promesa; El condicional es verdadero.
En el caso # 4, no estoy sano y no vine a clase. No hice
viola mi promesa; lo condicional es verdadero “.

Esta es una cuestión de elección arbitraria tratando de ajustarse lo más posible a una definición razonable. Si vamos a asignar p implica qa una tabla de verdad, entonces claramente sería verdadero cuando ambas variables son verdaderas, y falso cuando p es verdadero yq es falso. La elección más difícil viene cuando p es falso.

Considere “si soy fuerte, entonces puedo mover 100 libras”. ¿Qué pasa si no soy fuerte? Entonces es posible que aún pueda mover 100 libras usando algún artilugio inteligente, o tal vez no pueda. De cualquier manera, nos gustaría considerar la implicación verdadera. Extendemos esta idea incluso al caso donde la premisa nunca puede ser cierta.

¿Consideraría la afirmación “si el Papa es una mujer, entonces 1 = 1” verdadero o falso? ¿Qué tal “si el Papa fuera una mujer entonces 1 = 0”? Esto no suele ser lo que pensamos al considerar una implicación (es decir, la premisa es falsa), pero si la premisa fuera falsa, ¿la implicación se mantendría? Decidimos que debería.

Si A entonces B Pero no A
Si robo, entonces rompo la ley. Pero no robo

Un hecho que puede derivarse de la regla A => B
Es B ‘=> A’ (si no es B, entonces no es A)
Para cambiar el tiempo pero retener el sentido
Si no voy a violar la ley, no debo robar.

Me dice que No A es necesario pero no suficiente para no B
Entonces la regla tiene relevancia aunque A sea falsa

El punto completo sobre cualquier regla (es decir, algo que involucra “Si”)
Es que te dice algo, ya sea que la suposición (A) sea falsa o no.

Frecuentemente se producen implicaciones dentro de los cuantificadores universales. Para todos [math] n [/ math], [math] An [/ math] implica [math] Bn [/ math]. Simbólicamente

[matemáticas] \ forall n \, (An \ a Bn) [/ matemáticas]

Tomemos, por ejemplo, la afirmación de que cada número primo mayor que 2 es impar. Aquí, [math] \ forall n [/ math] es “para cada número entero [math] n [/ math]”, [math] Un [/ math] es “[math] n [/ math] es un número primo mayor que 2 “, y [matemática] Bn [/ matemática] es” [matemática] n [/ matemática] es impar “.

Esa es una afirmación verdadera, por lo que para cada número entero [matemáticas] n [/ matemáticas], deberíamos tener eso

[matemáticas] An \ a Bn [/ matemáticas]

Ser una declaración verdadera.

Tome [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]. Queremos que [matemáticas] A6 \ a B6 [/ matemáticas] sea verdad. Aquí [matemáticas] A6 [/ matemáticas] es falso y [matemáticas] B6 [/ matemáticas] también es falso.

Ahora tome [math] n = 9 [/ math]. Queremos que [matemática] A9 \ a B9 [/ matemática] sea verdadera. Aquí [matemáticas] A9 [/ matemáticas] es falso y [matemáticas] B9 [/ matemáticas] también es cierto.

Entonces, cuando [math] A [/ math] es falso, queremos que [math] A \ to B [/ math] sea verdadero independientemente del valor de verdad de [math] B [/ math].

David Joyce dio una muy buena respuesta técnica. Pero creo que es mucho menos formal. Supongamos que digo:

Ser humano implica tener menos de 10 pies de altura

No queremos que esto signifique nada sobre, digamos, jirafas. Es decir, el argumento:

Todos los humanos tienen menos de 10 pies de altura
Joe es una jirafa
Por lo tanto, Joe mide menos de 10 pies de altura

no tiene sentido, pero también lo es

Todos los humanos tienen menos de 10 pies de altura
Joe es una jirafa
Por lo tanto, Joe mide más de 10 pies de altura

Si p es verdadero, entonces q se ve obligado a ser verdadero. Si p no es verdadero, entonces q podría ser verdadero o falso y la afirmación subyacente p implica que q aún sería verdadero.

Una buena regla general cuando se trata del condicional es que el enunciado es verdadero a menos que se demuestre lo contrario, es decir, el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Por favor vea la siguiente respuesta:

La respuesta de John Gould a ¿Por qué una afirmación condicional con un antecedente falso es siempre cierta?