Este es un video de un seis dimensiones de 6 cubos. Los colores del arco iris y los paneles de vidrio realmente ayudan a esta visualización.
Si es difícil imaginar 6 dimensiones, considere esto: las posibles afinaciones de una guitarra constituyen un espacio de 6 dimensiones . Puede sintonizar EADGBE (estándar), DADGAB, drop-D, DADGAD, GCCGCC, BEBEBE, CGCFGE y muchos otros.
(Si considera que las notas separadas por una octava son equivalentes, entonces estamos hablando del espacio acuotiente, cada distancia está topológicamente en un bucle. Pero ese es solo un sistema de valoración musical, y como el número sinuoso de un número complejo, es totalmente Es evidente que las octavas altas no suenan exactamente igual que los sonidos bajos. Y hacer un 720 ° es más impresionante que un 360 °. Si el “bucle” abstracto se desenrolla, hay una nota más alta (“1”) y una nota más baja (“0”) que se puede reproducir efectivamente en cada cadena (dimensión).)
También puede pensar en 6-D como las seis columnas de una tabla o matriz . Por ejemplo, el { RBI , porcentaje en base , errores de fildeo , bases robadas , sacrificio de moscas y jonrones } para varios jugadores de béisbol.
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O puede pensar en seis precios de seguridad que se mueven en paralelo , de campana a campana en la NYSE.
Nuevamente, el precio más bajo se llama “0” y el más alto se llama “1”. Este cambio de nombre coloca los saltos movimientos brownianos dentro de un segundo plano. Entonces, en lugar de seis rutas 1-D, es una ruta 6-D:
Suficientes ejemplos de cosas de 6 dimensiones. De vuelta al cubo de 6 en sí.
Hagamos uno.
Los límites del secteract (¿sus “esquinas”? ¿O debería decir sus 6 esquinas?) Provienen de llenar cada uno de los seis espacios con 0 o 1 .
Hay 64 formas de hacer esto. (dos opciones para cada uno de seis espacios = 2 ^ 6.) Por ejemplo (0,0,0,0,0,1) es uno, (0,0,0,0,1,0) es otro y ( 0,1,1,0,1,0) es un tercio de los 64.
El lenguaje de programación R fue lo suficientemente agradable como para escribir todos los vértices sin tener que escribir mucho. Aquí están:
= c> botín = c (0,1)
> expand.grid (botín, botín, botín, botín, botín, botín) #rockin en todas partes
Var1 Var2 Var3 Var4 Var5 Var6
1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0
3 0 1 0 0 0 0
4 1 1 0 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0
6 1 0 1 0 0 0
7 0 1 1 0 0 0
8 1 1 1 0 0 0
9 0 0 0 1 0 0
10 1 0 0 1 0 0
11 0 1 0 1 0 0
12 1 1 0 1 0 0
13 0 0 1 1 0 0
14 1 0 1 1 0 0
15 0 1 1 1 0 0
16 1 1 1 1 0 0
17 0 0 0 0 1 0
18 1 0 0 0 1 0
19 0 1 0 0 1 0
20 1 1 0 0 1 0
21 0 0 1 0 1 0
22 1 0 1 0 1 0
23 0 1 1 0 1 0
24 1 1 1 0 1 0
25 0 0 0 1 1 0
26 1 0 0 1 1 0
27 0 1 0 1 1 0
28 1 1 0 1 1 0
29 0 0 1 1 1 0
30 1 0 1 1 1 0
31 0 1 1 1 1 0
32 1 1 1 1 1 0
33 0 0 0 0 0 1
34 1 0 0 0 0 1
35 0 1 0 0 0 1
36 1 1 0 0 0 1
37 0 0 1 0 0 1
38 1 0 1 0 0 1
39 0 1 1 0 0 1
40 1 1 1 0 0 1
41 0 0 0 1 0 1
42 1 0 0 1 0 1
43 0 1 0 1 0 1
44 1 1 0 1 0 1
45 0 0 1 1 0 1
46 1 0 1 1 0 1
47 0 1 1 1 0 1
48 1 1 1 1 0 1
49 0 0 0 0 1 1
50 1 0 0 0 1 1
51 0 1 0 0 1 1
52 1 1 0 0 1 1
53 0 0 1 0 1 1
54 1 0 1 0 1 1
55 0 1 1 0 1 1
56 1 1 1 0 1 1
57 0 0 0 1 1 1
58 1 0 0 1 1 1
59 0 1 0 1 1 1
60 1 1 0 1 1 1
61 0 0 1 1 1 1
62 1 0 1 1 1 1
63 0 1 1 1 1 1
64 1 1 1 1 1 1
Y ahí lo tienes: una realización electrónica de un secteract. Tan real como una forma de vida de Polyworld.
Un buen siguiente paso es pensar en gráficos (no
amable pero
¡Este tipo! Los matemáticos no están juntos para hacer el vocabulario. Fácil para todos. Lo siento.
De todos modos, si piensas en las esquinas de los cubos como nodos, entonces un cubo puede verse como cualquiera de estos:
En otras palabras, otra forma de pensar en 3-D, si lo proyecta en un gráfico en 2-D, es que un cubo tiene 3 aristas por vértice. ¿Qué sería eso en 4D?
Wikipedia también tiene imágenes de proyecciones de la esfera 3 (es 4D … de nuevo, no puedo justificar el vocabulario … tiene sentido de alguna manera)
Como el círculo y la línea (o la bola y el recuadro) son dos de las formas más básicas, las personas los usan como pasos básicos para comprender la alta D. Si entiendes las bolas de alta D y las cajas de alta D, entonces sabes al menos algo.
Para mí, la gran lección de la vista de gráficos planos de dimensiones superiores es que es posible tener muchas más relaciones “próximas” en la D superior. Citando del libro de Chris Bishop, Neural Networks for Pattern Recognition:
En un espacio de alta dimensionalidad, la mayor parte del volumen de un cubo se concentra en la gran cantidad de esquinas, que … ¡se convierten en ‘espigas’ muy largas!
(La razón es: la relación de la distancia desde el centro de un cubo D-dimensional a una de las esquinas, dividida por la distancia perpendicular a uno de los lados, es √D, que por lo tanto va a ∞ como D → ∞.)
Nuevamente sobre el mismo tema, Geoff Hinton:
Las anchoas no estaban cerca de las sardinas y el atún. Eso es porque estaban cerca de los ingredientes de la pizza.
Pero era solo un problema porque era una tienda de comestibles tridimensional. Si hubiera sido una tienda de comestibles de treinta dimensiones podrían haber estado cerca de la pizza y las sardinas.
He publicado muchos textos e imágenes sobre este tema en isomorfismos: 4 + -dimensiones