Bueno, sabemos que la categoría de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] teorías de campo cuántico topológico dimensional sobre un campo [matemáticas] K [/ matemáticas] es equivalente a la categoría de álgebras de Frobenius sobre [matemáticas] K [/ matemáticas]. [matemáticas] ^ 1 [/ matemáticas]
Un teorema bien conocido es que cualquier superficie compacta es homeomorfa a una esfera, suma de toros conectada o a una suma de planos proyectivos conectados. Las clasificaciones topológicas se vuelven más desordenadas en las dimensiones superiores. [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas]
El teorema de Bézout también es un resultado clásico bastante conocido. Establece que si [matemática] F [/ matemática] y [matemática] G [/ matemática] son curvas planas proyectivas de grados [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] respectivamente (con [matemática] F [/ math] y [math] G [/ math] no tiene ningún componente común), luego [math] \ displaystyle \ sum_P I (P, F \ cap G) = mn [/ math] donde [math] I [ / math] es la multiplicidad de intersección. Generalizar este resultado lleva a la teoría de la intersección. [matemáticas] ^ 3 [/ matemáticas]
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Las superficies de Riemann tienen mucha buena teoría detrás de ellas. La categoría de curvas algebraicas proyectivas suaves sobre [math] \ mathbb {C} [/ math] es equivalente a la categoría de superficies compactas de Riemann. También hay una dualidad (equivalencia contravariante) entre cualquiera de estos y la categoría de campos de trascendencia grado 1 sobre [math] \ mathbb {C} [/ math]. Las superficies de Riemann albergan funciones holomórficas y “cálculo complejo”, a veces se puede observar que tienen propiedades bastante agradables.
No estoy completamente seguro de cuán lejos quieres que llegue con esto. Supongo que se podría decir que sabemos mucho sobre estructuras bidimensionales. Pero creo que la sugerencia de que tenemos una comprensión completa de cualquier cosa bidimensional parece absurda sobre la base de que hay muchas estructuras misteriosas que se presentan en “dos dimensiones”.
[1] Teorías de campo cuántico topológico bidimensional y álgebras de Frobenius, Lowell Abrams.
http://www.physics.rutgers.edu/~… para diagramas coloridos.
[2] Topología algebraica: una introducción, William S. Massey.
[3] Curvas elípticas, JS Milne.
Curvas algebraicas, de William Fulton. Una versión modificada del texto de 1969 está en el sitio web de Fulton y se puede leer en: http://www.math.lsa.umich.edu/~w…
