¿Por qué el rizo y la divergencia de un campo escalar no están definidos?

Bueno, primero hablaré de eso matemáticamente. El rizo y la divergencia son operaciones vectoriales, donde [math] \ nabla [/ math] se trata como un vector y se aplica a través del producto cruzado y puntual respectivamente. Naturalmente, estos solo pueden aplicarse a vectores, y no tienen sentido con escalares.

Físicamente, tampoco tiene sentido aplicar el rizo y la divergencia de un campo escalar. Considere la divergencia del campo eléctrico, por ejemplo:
Los campos alrededor de estas dos cargas son dos ejemplos de campos vectoriales. Si encontrara la divergencia del campo, encontraría uno positivo para la carga positiva y uno negativo para la carga negativa. (Esta es una consecuencia directa de una de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial: [matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} [/ matemáticas].)

Pero, imagine lo que obtendría si estos fueran campos escalares sin dirección. No podría distinguir los dos casos anteriores, porque este par de campos tiene la propiedad de tener las mismas magnitudes en cada punto del espacio, pero direcciones opuestas . Como no puede distinguirlos, ¡la divergencia del caso de carga positiva es idéntica a la divergencia del caso negativo! ¡Esto significa que cualquier divergencia es igual a su negación! Claramente, esto no tiene sentido.

Si usa la metáfora fluida común e intuitiva para los campos, también puede visualizar por qué la divergencia de un campo escalar no tiene sentido. Considere primero un campo vectorial sin rizos, que se puede imaginar como un mar de fluidos fluidos, con fuentes (como un grifo o cascada) en lugares con divergencia positiva, y sumideros (como desagües o sifones) en lugares con divergencia negativa . Sin embargo, esto no tiene sentido para los campos escalares, que no tienen dirección. Sin dirección, ¿hacia dónde fluye el agua? ¿Dónde se está congregando o separando el agua? La divergencia simplemente no tiene sentido.

El argumento en contra de tener un rizo de un campo escalar funciona de manera similar, aunque el rizo en general es un poco menos intuitivo de entender que la divergencia. Usando la analogía de fluidos nuevamente, esta vez sin divergencia, un vórtice girando alrededor del centro de una taza (por ejemplo, si agita una taza de café) tiene un rizo alto. (Específicamente, las velocidades de las partículas tienen una alta curvatura). Sin embargo, si tiene magnitud pero no dirección, puede imaginarlo como el café congelado (mmm, café con leche mezclado con hielo) en una posición de vórtice, pero sin moverse. Toda la taza de café es rotacionalmente simétrica. ¿Cuál es el rizo, entonces?

Con suerte, estas analogías pudieron mostrar intuitivamente por qué las propiedades direccionales de los campos vectoriales son necesarias para el concepto de rizo y divergencia. Si tiene más consultas, por favor, hágalas en los comentarios.