A Anónimo: pregunta en un comentario “Sin usar la notación de índice, ¿es posible probar la identidad?” Sí, es posible, pero con sacrificio de rigor. Un método directo que utiliza notación de índice (es decir, componente) es mucho más convincente. Es interesante que parezca que está dispuesto a aceptar la identidad del vector [matemáticas] A \ veces (C \ veces B) = C (A \ cdot B) – (A \ cdot C) B, [/ matemáticas] que es en sí creo bastante difícil para demostrar sin usar la notación de índice (nunca he visto una prueba tan completa). Entonces, ¿por qué no usar la notación de índice para demostrar la identidad más difícil en cuestión?
En cualquier caso, sin tener en cuenta la cuestión de la notación de índice por el momento, aquí hay un enfoque que vi por primera vez en el clásico libro de texto “Cálculo avanzado para aplicaciones”, de FB Hildebrand (ver Capítulo 6), que parafraseo aquí (consulte el referencia para una cuenta más fiel). Reemplazar el vector [math] C [/ math] en la identidad por el operador de vector [math] \ nabla [/ math] uno conjetura como lo hizo
[matemáticas] \ begin {align} A \ times (\ nabla \ times B) = \ nabla (A \ cdot B) – (A \ cdot \ nabla) B \ ,. \ tag {1} \ end {align} [/ math]
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La identidad es incompleta porque en el lado izquierdo [math] \ nabla [/ math] actúa solo en [math] B [/ math], mientras que en el lado derecho actúa en el producto escalar [math] A \ cdot B [/ math] que involucra tanto [math] A [/ math] como [math] B [/ math]. Entonces, la idea es suponer que [math] A [/ math] es un vector constante en la conjetura, y enfatice esto subrayando, escribiendo la identidad parcial como
[matemáticas] \ begin {align} {\ underline {A}} \ times (\ nabla \ times B) = \ nabla ({\ underline {A}} \ cdot B) – ({\ underline {A}} \ cdot \ nabla) B \ ,, \ end {align} [/ math]
a partir del cual
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla ({\ underline {A}} \ cdot B) = {\ underline {A}} \ times (\ nabla \ times B) + ({\ underline {A}} \ cdot \ nabla) B \ ,, \ end {align} [/ math]
Se obtiene una segunda identidad parcial intercambiando [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], esta vez manteniendo [matemática] B [/ matemática] constante, y luego observando que [matemática] {\ subrayado { B}} \ cdot A = A \ cdot {\ underline {B}} [/ math]:
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla ({\ underline {B}} \ cdot A) = {\ underline {B}} \ times (\ nabla \ times A) + ({\ underline {B}} \ cdot \ nabla) A = \ nabla (A \ cdot {\ underline {B}}) \,. \ end {align} [/ math]
El gradiente del producto escalar debería ser la suma de los gradientes, uno manteniendo [math] A [/ math] constante, el otro manteniendo [math] B [/ math] constante:
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla (A \ cdot B) & = \ nabla ({\ underline {A}} \ cdot B) + \ nabla (A \ cdot {\ underline {B}}) \\ & = {\ underline {A}} \ times (\ nabla \ times B) + ({\ underline {A}} \ cdot \ nabla) B + {\ underline {B}} \ times (\ nabla \ times A) + ({\ underline {B}} \ cdot \ nabla) A \,. \ end {align} [/ math]
El hecho de que [math] \ nabla [/ math] no actúa sobre los vectores constantes [math] {\ underline {A}} [/ math] y [math] {\ underline {B}} [/ math] en el El lado derecho del resultado final hace que su constancia sea irrelevante ahora, por lo que la identidad se mantiene para todos los vectores [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ begin {align} \ nabla (A \ cdot B) = A \ times (\ nabla \ times B) + (A \ cdot \ nabla) B + B \ times (\ nabla \ times A) + (B \ cdot \ nabla) A \ ,. \ tag {ident 1} \ end {align} [/ math]
Ahora, ¿qué pasa con la notación de índice o componente? Esto requiere familiaridad con el símbolo delta de Kronecker
[matemáticas] \ begin {align} \ delta_ {ij} = \ begin {cases} 1 & {\ text {if}} i = j \\ 0 & {\ text {if}} i \ neq j \ end {cases } \ ,, \ end {align} [/ math]
el símbolo de permutación Levi-Civita
[matemáticas] \ begin {align} \ epsilon_ {ijk} = \ begin {cases} +1 & {\ text {if $ i, j, k $ es una permutación par de $ 1, 2, 3 $}} \\ – 1 & {\ text {if $ i, j, k $ es una permutación impar de $ 1, 2, 3 $}} \\ {\ phantom {-}} 0 & {\ text {si dos índices son iguales}} \ end {cases} \ end {align} [/ math]
y las siguientes relaciones entre ellos:
[matemáticas] \ begin {align} \ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {ilm} & = \ delta_ {jl} \ delta_ {km} – \ delta_ {jm} \ delta_ {kl}, \\ \ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {ijm} & = 2 \, \ delta_ {km} \ ,, \ end {align} [/ math]
donde se entiende que la convención de suma en índices repetidos está vigente. Algunas fórmulas vectoriales típicas tienen formas componentes como [matemáticas] A \ cdot B = \ delta_ {ij} A_i B_j = A_i B_i, [/ matemáticas] [matemáticas] (A \ veces B) _i = \ epsilon_ {ijk} A_j B_k , [/ math] [math] (\ nabla) _i = \ partial / \ partial x_i = \ partial_i, [/ math] [math] \ nabla \ cdot A = \ delta_ {ij} \ partial_i A_j = \ partial_i A_i, [/ math] y [math] (\ nabla \ times A) _i = \ epsilon_ {ijk} \ partial_j A_k. [/ math]
Estos son suficientes para permitir la derivación de una identidad para [math] A \ times (\ nabla \ times B), [/ math] porque tenemos como componente [math] i [/ math] th:
[matemáticas] \ begin {align} [A \ times (\ nabla \ times B)] _ i & = \ epsilon_ {ijk} A_j (\ nabla \ times B) _k, \\ & = \ epsilon_ {ijk} A_j \ epsilon_ {klm} \ partial_l B_m, \\ & = \ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {klm} A_j \ partial_l B_m, \\ & = \ epsilon_ {kij} \ epsilon_ {klm} A_j \ partial_l B_m, \\ & = ( \ delta_ {il} \ delta_ {jm} – \ delta_ {im} \ delta_ {jl}) A_j \ partial_l B_m, \\ & = A_j \ partial_i B_j – A_j \ partial_j B_i \ ,. \ tag {2} \ end {align} [/ math]
Comparar (2) con la forma componente de la conjetura (1), es decir,
[matemáticas] \ begin {align} [A \ times (\ nabla \ times B)] _ i = \ partial_i (A_j B_j) – A_j \ partial_j B_i \ ,, \ tag {1, forma de componente} \ end {align} [ /matemáticas]
vemos que el primer término en el lado derecho de la forma correcta (2) involucra la derivada parcial de [math] B_j [/ math] solo (como si [math] A [/ math] fuera un vector constante en el conjetura ), no del producto escalar [matemática] A_j B_j [/ matemática] de [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática]. Esto explica el error en la conjetura (1) tal como está. Para obtener la identidad que busca, tenemos del formulario de componente (2):
[matemáticas] \ begin {align} A_j \ partial_i B_j = [A \ times (\ nabla \ times B)] _ i + A_j \ partial_j B_i \ ,. \ tag {3} \ end {align} [/ math]
Intercambiando [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] rendimientos
[matemáticas] \ begin {align} B_j \ partial_i A_j = [B \ times (\ nabla \ times A)] _ i + B_j \ partial_j A_i \ ,. \ tag {4} \ end {align} [/ math]
Agregando las ecuaciones (3) y (4), observando que [matemática] A_j \ partial_i B_j + B_j \ partial_i A_j = \ partial_i (A_j B_j) [/ matemática], obtenemos la forma componente de (ident 1):
[matemáticas] \ begin {align} \ partial_i (A_j B_j) = [A \ times (\ nabla \ times B)] _ i + A_j \ partial_j B_i + [B \ times (\ nabla \ times A)] _ i + B_j \ parcial_j A_i \ ,. \ tag {ident 2} \ end {align} [/ math]
