¿Qué es una prueba? En su forma más fundamental, una prueba es una secuencia de reglas de inferencia acordadas (como: “A es verdadero” y “Si A es verdadero, entonces B es verdadero” implica “B es verdadero”) que comienzan desde los axiomas (algunos conjunto inicial de supuestos que describen los objetos de los que estamos hablando) para mostrar que la conclusión deseada es verdadera.
Si la prueba funciona, debería poder (en principio) dar esta secuencia de reglas de inferencia a la computadora para que se ejecute como un programa, y siempre llegará al resultado deseado. Es cierto que la verificación automática de pruebas no es algo que podamos hacer en todos los casos todavía, ¡pero la tecnología está llegando! Estos son tiempos emocionantes.
La idea es que si tiene una prueba válida, se sabe que su declaración es verdadera. Siempre. Creo que se puede argumentar que este es un resultado deseable.
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- ¿Existe una función continua no constante [matemática] f (x) [/ matemática] definida en todos los no matemáticos [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] f (x) = f (x-1) + f (x-2) [/ math] para todos [math] x \ geq 2 [/ math]? Si es así, ¿cómo podría construirlo?
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Sin embargo, hay otro papel que cumplen las pruebas, y es darnos una idea de por qué el resultado es verdadero. En el mejor de los casos, una prueba inteligente puede proporcionar nuevos conocimientos e incluso nuevas herramientas para trabajar. Este es un resultado muy deseable.
En los detalles de esta pregunta, también hace esencialmente la siguiente pregunta: si tenemos una declaración en un sistema axiomático, ¿existe siempre una prueba de que la declaración es verdadera o una prueba de que es falsa? Desafortunadamente, ese no es el caso: en cualquier sistema axiomático lo suficientemente sofisticado como para describir los enteros, existe una declaración que no se puede probar como verdadera o falsa. Tal afirmación se llama indecidible.
Hay una serie de afirmaciones que se muestran indecidibles en ZFC (el sistema de axioma teórico estándar establecido). De hecho, aquí hay una lista: Lista de declaraciones indecidibles en ZFC
No se sabe que la hipótesis de Riemann sea indecidible o no, pero es un caso peculiar, porque si es indecidible, entonces es cierto. He aquí por qué: puede demostrar que es equivalente a una condición que luego necesitaría verificar para cada entero positivo. Si se cumple para cada número entero, RH es verdadero. Si hay algún número entero para el que no, entonces RH es falso.
Ahora, si RH es indecidible, eso significa que no hay un número entero para el que la condición no se cumpla; de lo contrario, solo necesitaría verificar muchos números enteros hasta encontrar el contraejemplo, y esa sería su prueba.
