Lo primero que hay que mencionar es que ZFC es una teoría formal de primer orden con solo un tipo de variables: aquellas que representan conjuntos (conjuntos bien fundados, es decir, aquellos que se pueden descomponer en conjuntos vacíos o conjuntos que contienen conjuntos vacíos como elementos). Por lo tanto, no necesita tener letras grandes y pequeñas como variables.
Consideremos ahora el segundo teorema. Establece que para cada conjunto existe algo que no se incluye como elemento. Bueno, esto es sintácticamente equivalente a decir que no hay un conjunto universal. Y esto se puede derivar solo en FOL del hecho de que cada conjunto es normal (no un elemento en sí mismo). Les dejo esto para que deduzcan esto (que cada conjunto es normal) del axioma de la regularidad y el axioma del conjunto vacío.
Pasemos a la primera expresión.
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Editar: como lo escribí, era la 1 de la mañana y, como era de esperar, cometí un error en la interpretación de la expresión. Realmente niega lo siguiente: existe un conjunto que contiene cada conjunto normal como elemento. Bueno, esto es una contradicción con el axioma de la regularidad y, de hecho, es la forma de la paradoja de Russell.
La prueba es corta y realmente sencilla:
- Supongamos que [matemática] \ existe x \ para todo y (y \ en x \ equiv y \ notin y) [/ matemática]
- [math] \ forall y (y \ in x \ equiv y \ notin y) [/ math]
- [matemáticas] (x \ in x \ equiv x \ notin x) [/ matemáticas] – esto es claramente una contradicción
- [matemáticas] \ neg \ existe x \ forall y (y \ in x \ equiv y \ notin y) [/ math]
