Esto no tiene mucho sentido tal como está, pero intentaré rescatarlo.
Solo una simple “[matemática] \ log [/ matemática]” es una función; [math] \ log (x) [/ math] es un valor particular del rango de [math] \ log [/ math]. Los dos literalmente no pueden ser lo mismo. Lo que creo que debes haber querido decir era
[matemáticas] \ log (x) = \ log (y) \ implica x = y [/ matemáticas]
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Esto requiere que se defina [math] \ log (x) [/ math]; dado que la implicación va en ambos sentidos (de hecho, la implicación de derecha a izquierda es casi trivial).
La implicación de izquierda a derecha es simplemente el resultado de aplicar la función exponencial apropiada (generalmente para basar [matemática] e [/ matemática] en matemática pura, ocasionalmente basar [matemática] 10 [/ matemática] en matemática aplicada, y potencialmente casi cualquier cosa dependiendo del contexto). En cualquier caso, las funciones exponenciales son normalmente fáciles de definir de manera única sobre todos los elementos finitos de su dominio (lo que generalmente significa todos), y no se necesita ningún esfuerzo especial para elegir una “rama preferida”. Sobre, digamos, los números reales, o los números complejos, o las matrices [math] 3 \ times 3 [/ math] sobre los racionales, la función está bien definida; entonces
[matemática] \ log (x) = \ log (y) \ implica \ exp (\ log (x)) = \ exp (\ log (y)) [/ math]
[math] \ log [/ math] es simplemente la función inversa a [math] \ exp [/ math], por lo que el lado derecho es solo [math] x = y [/ math].
Las dificultades surgen porque “la función inversa a [math] \ exp [/ math]” no es tan útil como eso. El hecho de que [math] \ exp [/ math] sea único no significa que sea una biyección entre dominio y codominio. Considerando los números reales como argumentos, su rango son los números reales positivos, por lo que no existe una función inversa sobre los reales. Los números complejos como argumentos se asignan a los números complejos distintos de cero, y el mapeo es en muchos otros muchos a uno, como [math] \ exp (z) = \ exp (z + 2 \ pi.i) [/ math ] para todos los complejos [math] z [/ math].
Para que [math] \ log (x) = \ log (y) [/ math] esté bien definido al tiempo que permite valores complejos, tendría que elegir una “rama” preferida de [math] \ log [/ math], o definirlo como una función en la clase de equivalencia de antilogs, es decir, las clases de residuos después de dividir la parte imaginaria por [math] 2 \ pi.i [/ math].
Solo para enfatizar; no hay ningún problema especial, en casos “normales” de una función exponencial, al inferir hacia adelante [matemática] \ log (x) = \ log (y) \ implica x = y [/ matemática]
Sin embargo, los [math] \ log [/ math] s del lado izquierdo pueden no existir.
Inferir hacia atrás [matemáticas] x = y \ implica \ log (x) = \ log (y) [/ matemáticas]
es trivial si existen [math] \ log [/ math] s en el lado derecho (por supuesto, ambos existen, o no, juntos). Eso puede requerir un poco de baile para elegir un [math] \ log [/ math] único, y se debe seguir la misma regla para garantizar que [math] \ log [/ math] se defina de la misma manera cada vez: es decir, que solo se está utilizando una función [math] \ log [/ math].
