(Esto es descaradamente robado en su totalidad de otra de mis respuestas).
Una vez me dijeron acerca de una deliciosa prueba de doble conteo (que siempre son deliciosas) por el hecho de que
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} [/ matemáticas]
- ¿Se ha cambiado la tasa de descubrimientos matemáticos?
- ¿Cómo debo describir mis pensamientos acerca de las matemáticas al completar un formulario de pasantía en matemáticas?
- ¿Obtener una forma cerrada para la función de Riemann resuelve su conjetura?
- Me dicen que podría haber afirmaciones verdaderas en una teoría matemática que no son demostrables. ¿Qué quiere decir uno con la "verdad" de una declaración matemática no demostrable?
- ¿Qué es un espacio topológico?
eso va de la siguiente manera:
Digamos que tengo un grupo de [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] que quieren ver un espectáculo. Tengo tres entradas para el teatro: un pase detrás del escenario y dos entradas regulares (pero distinguibles). Tengo que entregar los boletos de acuerdo con las siguientes dos reglas:
1. El pase de backstage debe ir a la persona de más edad que obtenga un boleto. (Todas las personas en la fila son de diferentes edades).
2. La persona que obtiene el pase detrás del escenario no puede obtener ninguno de los otros dos boletos, pero los dos boletos normales pueden ir a la misma persona.
¿De cuántas maneras puedo regalar los boletos? Hay dos formas de contarlo. El primero es decidir qué boleto regalar, luego decidir qué persona lo recibe: el segundo es decidir a quién dar los boletos y luego decidir qué boleto se lleva.
Para la primera forma, puedo darle el pase de backstage a la persona más joven y luego dar las otras dos entradas en un total de [matemáticas] 0 * 0 [/ matemáticas] cada una. O puedo dárselo al segundo más joven y darle los otros dos boletos en un total de [matemática] 1 * 1 [/ matemática] formas … o puedo dárselo a la persona más vieja y darle los otros dos boletos en total de [matemáticas] n * n [/ matemáticas] formas. Entonces, la primera forma de contar da
[matemáticas] \ displaystyle {\ sum_1 ^ ni ^ 2} [/ matemáticas]
Para la segunda forma, o le doy boletos a tres personas o le doy boletos a dos personas. Si se los doy a tres personas, la persona mayor debe obtener el pase detrás del escenario, pero hay dos formas de distribuir los boletos restantes (recuerde, son distinguibles). Si se los doy a dos personas, entonces no hay grados de libertad: el mayor obtiene el pase detrás del escenario y el más joven obtiene los otros dos. Entonces esta forma de contar da
[matemáticas] 2 {{n + 1} \ elegir 3} + {{n + 1} \ elegir 2} = [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ dfrac {(n + 1) (n) (n-1)} {6} + \ dfrac {(n + 1) (n)} {2} = [/ matemáticas]
[matemáticas] n (n + 1) \ left (\ dfrac {2n – 2} {6} + \ dfrac {3} {6} \ right) = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} [/ matemáticas]
que ha sido conocido por otros medios durante cientos de años. Lo maravilloso de este método es que encontrar las formas cerradas siempre es fácil, aunque un poco laborioso, para valores mayores que [math] 2 [/ math] y es fácil de recordar (¡o automatizar!).
