¿Cuál es la explicación de la ecuación 1-4.6 en el libro “Cálculo exterior aplicado”?

No estoy seguro, porque no tengo este texto, pero intentaré interpretar esa ecuación. Voy a ser intencionalmente descuidado en el siguiente, en mi intento de aclarar lo que significa. En particular, no voy a tratar seriamente de hacer un seguimiento de las diferencias entre [math] \ bar {x} [/ math], [math] \ hat {x} [/ math], [math] \ langle x \ rangle [/ math] y [math] x [/ math].

Expandiendo el significado de la evolución del tiempo para [math] t = \ delta t [/ math] como una serie de Taylor, obtengo

[matemáticas] \ bar {x} ^ i (\ delta t) = \ left [1 + \ delta t \ frac {d} {dt} + \ mathcal {O} (\ delta t ^ 2) +… \ right] \ bar {x} ^ j (0) [/ math],

que por supuesto es justo

[matemáticas] = \ left [1 + \ delta t \ frac {dx ^ j} {dt} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ j} + \ mathcal {O} (\ delta t ^ 2) +… \ right] \ bar {x} ^ j (0) [/ math].

Las aplicaciones repetidas de esta expresión linealizada (tomando [math] \ delta t [/ math] como infinitesimal) da

[matemáticas] \ bar {x} ^ i (t) = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left [1 + \ frac {t} {n} f ^ {i} (x ^ j) \ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ j} \ derecha] ^ n \ bar {x} ^ j (0) [/ matemáticas],

donde en lo anterior definí [matemáticas] \ delta t = \ frac {t} {n} [/ matemáticas] en el límite. El uso de la definición de límite del exponente da heurísticamente la ecuación en la pregunta. Digo heurísticamente, porque hay un índice en [math] \ langle x \ rangle [/ math] que no entiendo, y no sé lo que significa [math] x [/ math].

Si está familiarizado con la mecánica cuántica, esto es espiritualmente similar a escribir la solución de la ecuación de Schrodinger (o cualquier otra ecuación diferencial lineal para ese asunto) como (absorbiendo los [matemáticos] \ hbar [/ matemáticos] y [matemáticos] habituales yo [/ matemáticas] en el Hamiltoniano),

[matemáticas] \ phi (t) = e ^ {Ht} \ phi (0) [/ matemáticas], con [matemáticas] H \ phi (t) = \ frac {d} {dt} \ phi (t) [/ matemáticas].

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