Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos
[matemáticas] \ left (\ frac {a ^ 3} {b + c} + \ frac {b ^ 3} {c + d} + \ frac {c ^ 3} {d + a} + \ frac {d ^ 3} {a + b} \ right) \ left (b + c + c + d + d + a + a + b \ right) \ ge \ left (a ^ {3/2} + b ^ {3/2 } + c ^ {3/2} + d ^ {3/2} \ right) ^ 2 [/ math]
o, de manera equivalente, ya que [matemáticas] a + b + c + d = 1, [/ matemáticas]
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[matemáticas] 2 \ left (\ frac {a ^ 3} {b + c} + \ frac {b ^ 3} {c + d} + \ frac {c ^ 3} {d + a} + \ frac {d ^ 3} {a + b} \ right) \ ge \ left (a ^ {3/2} + b ^ {3/2} + c ^ {3/2} + d ^ {3/2} \ right) ^ 2. [/ Matemáticas]
Por lo tanto, es suficiente demostrar que
[matemáticas] a ^ {3/2} + b ^ {3/2} + c ^ {3/2} + d ^ {3/2} \ ge 1/2. [/ matemáticas]
No es difícil verificar que la función [matemática] f (x) = x ^ {3/2} [/ matemática] es convexa para [matemática] x \ ge 0 [/ matemática]. Así, por la desigualdad de Jensen, tenemos
[matemáticas] a ^ {3/2} + b ^ {3/2} + c ^ {3/2} + d ^ {3/2} \ ge 4 \ cdot (1/4) ^ {3/2} = 4 \ cdot 1/8 = 1/2, [/ matemáticas]
como se desee.
