Los diagramas conmutativos significan que si tiene dos objetos A, B con múltiples rutas que los conectan, el resultado de cualquier ruta será el mismo. Por ejemplo, tomar el producto con A, y luego B puede verse como solo tomar el producto con [matemáticas] A \ veces B [/ matemáticas]. Decir que un diagrama conmuta es ver las operaciones como literalmente dando el mismo resultado.
Los diagramas no conmutativos aparecen cuando desea relajar ciertas condiciones de cualquier estructura que se suponga que representa el diagrama.
Por ejemplo, supongamos que tiene la condición de asociatividad, es decir, [matemáticas] (A \ veces B) \ veces C = A \ veces (B \ veces C) [/ matemáticas]. Ahora, las categorías no son necesariamente aficionadas a la igualdad, ya que es bastante estricta, por lo que podemos pensar en esto como una flecha [matemáticas] \ alpha: (A \ times B) \ times C \ rightarrow A \ times (B \ times C ) [/ math], donde hasta ahora solo tenemos [math] \ alpha [/ math] sea la identidad.
Algo a tener en cuenta: incluso en una definición más indulgente, nuestra estructura aún debería ser válida para cada triple de objetos A, B, C. Por lo tanto, esta nueva “condición de conmutatividad” debería ser una transformación natural (o más generalmente, una celda de 2). Si considera que [math] \ alpha [/ math] es una iso natural, obtendrá el comienzo de una bicategoría.
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Otro buen ejemplo es si relaja la noción de “isomorfismo de categorías”: deje que [math] F: \ mathbb {C} \ leftrightarrows \ mathbb {D}: G [/ math] sean functores que van en direcciones opuestas. Decimos que [math] \ mathbb {C} [/ math] y [math] \ mathbb {D} [/ math] son isomorfas si [math] id _ {\ mathbb {C}} = GF [/ math] y [ math] FG = id _ {\ mathbb {D}} [/ math]. Si en lugar de igualdad solo desea, por ejemplo, GF es isomorfo a [math] id _ {\ mathbb {C}} [/ math], tiene la noción de categorías equivalentes . Además, si solo necesita una transformación natural unidireccional de [math] id _ {\ mathbb {C}} [/ math] a GF, obtendrá una noción aproximada de adjunción .
