Observe que esta serie involucra recíprocos de factoriales.
Entonces, recuerde que [matemáticas] {e} ^ {x} = \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{x} ^ {r}} {(r)! }} [/ math] Ver función exponencial.
Lo cual, para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], da [matemáticas] \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {r! }} = e [/ matemáticas]
Ahora, la serie dada se puede representar como: [matemáticas] \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{r} ^ {3}} {r! } } [/matemáticas]
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El siguiente paso obvio es cambiarlo a: [matemáticas] \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{r} ^ {2}} {(r-1)! } }[/matemáticas]
Observe cómo esto cambia el poder del exponente de 3 a 2. Tome esto como una pista del hacedor de preguntas. (S) Él quiere que haga esto y observe que tal cancelación reduciría el exponente del numerador en 1. Si continuamos cancelando términos de esta manera, reduciremos ese exponente de 2 a 1 y finalmente de 1 a 0. Esto nos permitirá expresar la serie en términos de e.
¡Ahora, nuestro próximo desafío es cancelar una parte del numerador ahora que tenemos [math] {r} ^ {2} [/ math] en el numerador pero solo [math] (r-1)! [/ Math] en el denominador ¡Fácil! Simplemente haga el numerador [matemáticas] {((r-1) +1)} ^ {2} = {(r-1)} ^ {2} +2 (r-1) +1 [/ matemáticas]
Pero aún queda una tarea (final) más por hacer. Observe que para [math] r = 1 [/ math], tenemos [math] (r-1)! = 0! [/ Math]. Por lo tanto, sería un error hacer que el denominador [math] (r-2)! [/ Math] estuviera allí, ya que sería [math] (- 1)! [/ Math] que no está definido en uso general. Para deshacerse de este problema, tomamos 2 términos de la suma y los evaluamos por separado.
Entonces nuestra serie se convierte en:
[matemáticas] \ frac {{1} ^ {2}} {0! } + \ frac {{2} ^ {2}} {1! } + \ sum _ {r = 3} ^ {\ infty} {\ frac {{(r-1)} ^ {2} +2 (r-1) +1} {(r-1)! } } [/matemáticas]
[matemáticas] = 5 + \ sum _ {r = 3} ^ {\ infty} {\ frac {{((r-2) +1)}} {(r-2)! }} + \ frac {2} {(r-2)! } + \ frac {1} {(r-1)! } [/matemáticas]
[matemáticas] = 5 + \ sum _ {r = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(r-3)! }} + \ frac {3} {(r-2)! } + \ frac {1} {(r-1)! } [/matemáticas]
[matemáticas] = 5 + \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {r! }} + \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {3} {r! }} + \ sum _ {r = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {r! } } [/matemáticas]
[matemáticas] = 5 + e + 3 (e- \ frac {1} {0!}) + (e- \ frac {1} {0!} – \ frac {1} {1!}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 5e \ aproximadamente 13.6 [/ matemáticas]
Ahora sé que esto podría parecer una respuesta innecesariamente larga, pero eso es simplemente porque he explicado mi proceso de pensamiento en cada paso en detalle. Es importante identificar por qué y dónde se atascó al resolver este problema. (Asumo que te quedaste atascado)
PD: Vi algunas otras respuestas afirmando que el valor se encuentra entre 10 y 11. Está bien afirmar que el valor está por encima de 10, pero incorrecto afirmar que es menor que 11. Esto se debe a que hay muchas series que convergen lentamente. Una afirmación equivalente sería decir que la suma de la serie armónica [math] \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {r}} [/ math] está entre 5 y 6 como la suma de hasta 100 términos es de aproximadamente 5.2 y luego los términos restantes se vuelven insignificantemente pequeños. ¡Pero la realidad es (sorprendentemente) que la serie diverge! Es decir, la suma es infinito. Ver serie armónica (matemáticas)
