Pregunta: ¿Cuál es la serie de suma de 2/3 + 3/4 + n?
Solo hay tres términos en su serie, y su suma es [matemática] n + \ frac {17} {12} [/ matemática]. Pero sospecho que querías preguntar sobre la suma:
[matemáticas] \ frac 23+ \ frac 34+ \ frac 45+ \ ldots + \ frac {n-1} {n} [/ matemáticas]
- ¿Por qué se desconoce si [matemáticas] ^ 4 \ pi [/ matemáticas] ([matemáticas] = \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ {\ pi}}} [/ matemáticas]) es un número entero?
- ¿Cuál es la cardinalidad de un conjunto S donde cada conjunto múltiple finito de elementos de S es miembro de S?
- ¿Cuáles son algunas aplicaciones de la lógica matemática?
- ¿Cómo podemos probar esto? La suma es conmutativa, la resta no lo es. La multiplicación es asociativa, la división no?
- ¿Las líneas con pendiente irracional se cruzan con puntos reticulares?
Si es así, aquí está la solución:
Tenga en cuenta que el término [math] k ^ {\ text {th}} [/ math] en la serie es [math] 1- \ frac 1 {k + 2} [/ math] y hay [math] n-2 [/ math] tales términos en la serie. Como la serie tiene un número finito de términos, podemos sumar todos los unos y luego sumar todas las fracciones y luego restar el resultado para obtener la respuesta.
Claramente, hay que agregar [math] n-2 [/ math], lo que da una suma de [math] n-2 [/ math]. Para agregar las fracciones, incluiré dos fracciones adicionales al comienzo: [matemática] \ frac 11 [/ matemática] y [matemática] \ frac 12 [/ matemática]. Pero si incluyo esos dos términos al sumar todos los términos negativos, también debería agregarlos a la parte positiva, [matemáticas] n-2 [/ matemáticas], para que no cambie la respuesta. Entonces ahora la parte positiva es [matemática] n-2 + 1 + \ frac 12 = n- \ frac 12 [/ matemática]. Y la parte negativa es [matemática] \ frac 11 + \ frac 12+ \ frac 13+ \ ldots + \ frac 1n [/ math]. Este elemento se llama [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] Número armónico y se denota [math] H_n [/ math]. Entonces la respuesta a su pregunta es:
[matemáticas] n- \ frac 12-H_n [/ matemáticas]
Lamentablemente, [math] H_n [/ math] no tiene una fórmula sucinta (aparte de su representación de suma básica), pero tiene un buen comportamiento asintótico. Resulta que [matemáticas] H_n \ aprox \ ln (n) + \ gamma [/ matemáticas]
donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni y [math] \ ln (n) [/ math] es la función de registro natural. Esta aproximación se vuelve muy precisa a medida que [math] n [/ math] crece.
Entonces, para [matemática] n [/ matemática] razonablemente grande, podemos escribir su suma como
[matemáticas] n- \ ln (n) – \ frac 12- \ gamma [/ matemáticas]
