Bueno, ¡descubrámoslo!
La propiedad integral (heh) de la función delta es que
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x) dx = 1 [/ matemáticas]
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Por supuesto, esta es la propiedad que desea en varias dimensiones, así que:
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ vec {x}) d \ vec {x} = 1 [/ matemáticas]
Así que echemos un vistazo si no tenemos [math] \ delta (x) [/ math] sino [math] \ delta (ax) [/ math]:
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (a \ vec {x}) d \ vec {x} [/ math]
Donde [matemáticas] d \ vec {x} = d ^ nx [/ matemáticas] por supuesto. Luego realizamos una sustitución de coordenadas:
[matemáticas] a \ vec {x} = \ vec {y} [/ matemáticas]
Calcule el jacobiano y obtendrá: [matemáticas] d ^ nx = \ frac {1} {| a | ^ n} dy [/ matemáticas]
Entonces tienes
[matemáticas] \ frac {1} {| a | ^ n} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ vec {y}) d \ vec {y} = \ frac {1} {| a | ^ n} [/ matemáticas]
Lo que significa que:
[matemáticas] \ delta ^ n (ax) = \ frac {1} {| a | ^ n} \ delta ^ n (x) [/ matemáticas]
