Teorema: [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] es irracional
prueba por contradicción
suponga que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional
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[matemáticas] \ sqrt {2} = \ frac {a} {b} [/ matemáticas] (fracción en los términos más bajos)
cuadratura en ambos lados
[matemáticas] \ implica 2 * b ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] a es par [matemáticas] 2 | a [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 4 | a ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 4 | 2 * b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2 | b ^ 2 [/ matemáticas]
[math] \ implica que b [/ math] es par (lo que contradice nuestra suposición de que la fracción [math] \ frac {a} {b} [/ math] está en los términos más bajos, ya que tanto a como b son pares y tienen un común factor 2.)
[matemáticas] \ implica \ sqrt {2} [/ matemáticas] es irracional
Hay una historia relacionada con esto. En la antigua Grecia, los pitogoreanos consideraban las matemáticas como una religión. Apeiron y Peras eran los dioses. Apeiron en griego se parece a algo infinito y Paras se refiere a algo finito. Los griegos consideraban infinito como malo y finito como bueno.
Entonces les gustó cualquier cosa finita y no les gustaron los demás. Entonces, según ellos, no había números irracionales, ya que no se pueden representar como a continuación,
por ej.
[matemáticas] \ frac {1} {3} = 0. \ overline {3} [/ matemáticas]
ya que los números irracionales tendrían un patrón de dígitos infinitamente no repetitivo después del punto decimal.
Tenían un axioma para la inexistencia del no irracional.
Según ellos, todo lo finito es racional.
Entonces, su otro axioma era que cualquier segmento de línea de longitud finita sería racional.
Luego, una vez que se encontraron con el triángulo rectángulo de lados aparte de la hipotenusa de unidad de longitud y encontraron utilizando su teorema de pythogoras, la hipotenusa de unidades de longitud [math] \ sqrt {2} [/ math]. Entonces tenían un teorema de que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional. Luego, cuando encontraron una prueba como la anterior que muestra que es irracional, descubrieron que sus axiomas no eran consistentes y las otras pruebas que hicieron usando esos axiomas no podían creerse. Lo más malo de esto fue que existía el número irracional que según ellos se consideraba malo. Por lo tanto, no publicaron la prueba y siguieron mostrándose como si [math] \ sqrt {2} [/ math] fuera racional. Pero alguien consideró que esto no sería mejor para su futuro y fue un denunciante y dejó salir la prueba. Entonces mataron a ese tipo.
Entonces, sí, los antiguos griegos consideraban las matemáticas como una religión.
Escuché esto cuando escuché a Tom Leighton
Matemáticas para la informática