¿Qué significa la palabra ‘trivial’ en matemáticas?

Es una palabra que pertenece principalmente a la cultura matemática en lugar de las matemáticas en sí, y es una parte que no me gusta mucho.

“X es trivial” significa que X es fácilmente deducible de las cosas que el hablante sabe y que el orador siente que debes saber. Es especialmente útil para desinflar a alguien entusiasmado con X: “Oh, esa es una consecuencia trivial de Y”.

Tiene algunos significados, pero todo se reduce a “poco interesante”.

La “solución trivial” es algo así como que aparezca 0 para cada punto. Por lo general, es el signo de cierta indeterminación en el problema planteado que debe resolverse imponiendo restricciones laterales o una singularidad que requiere regularización para abordar. Métodos como el escalado multidimensional no métrico son muy propensos a soluciones triviales. Creo que “degenerar” es probablemente una mejor palabra para eso. (Además, tiene un bonito sonido).

“La prueba es trivial” generalmente implica que es totalmente obvio. Esto es común cuando alguien muestra algo que involucra condiciones necesarias y suficientes y uno es descaradamente cierto pero el otro no.

Una variación es “espectáculos tediosos de álgebra” que dice que no es totalmente obvio, pero que en su mayoría requiere una manipulación algebraica prolongada que proporciona poca información, por lo que se omite para ahorrar espacio.

La mayoría de las respuestas hasta ahora han hablado de “trivial” como se aplica a los teoremas o las pruebas, pero los buenos matemáticos no usan la palabra de esa manera, a menos que el resultado sea realmente obvio.

Algunas respuestas mencionan soluciones triviales a las ecuaciones (y otros problemas matemáticos similares). Este uso es muy común, porque muchas preguntas difíciles desaparecen si todo simplemente se establece en cero.

El término trivial se usa de manera análoga para describir objetos legítimos pero poco interesantes en muchas ramas de las matemáticas. Uno de mis favoritos es el anillo trivial en álgebra abstracta. Este es un conjunto que contiene un único elemento e, para el que la suma y la multiplicación se definen por e + e = e y e * e = e. En álgebra abstracta, también es común usar los símbolos 0 y 1 para referirse a las identidades aditiva y multiplicativa respectivamente del anillo en consideración. Con esta notación, el anillo trivial es el único lugar en todas las matemáticas donde 0 = 1 es realmente cierto, y no es solo el paso final de una prueba por contradicción.

En lógica, el sistema trivial es la lógica que simplemente toma todas las oraciones como teoremas (y, por lo tanto, verdaderas). Esto surge con bastante frecuencia porque muchas propuestas lógicas aparentemente interesantes resultan equivalentes al sistema trivial en virtud de ser inconsistentes.

“trivial”: extremadamente simple y a menudo poco interesante.

ejemplo:
politopos no triviales:

triángulo, cuadrado, pentágono, tetraedro, cubo, icosaedro, tesseract, 600 células, penteract, …

politopos triviales:
punto
segmento de línea

En la práctica, a menudo significa que la persona que hace un reclamo no tiene ganas de explicar por qué es cierto.

Se supone que significa “Puedes hacerlo tú mismo muy fácilmente, así que no voy a molestarme”, pero a veces significa “Es difícil y no quiero hacerlo” o “Hay una solución que puedes buscar arriba, porque no quiero hacerlo “. A menudo se puede usar para inflar el sentido de superioridad de uno, como en “Es trivial para mí, así que si no crees que es trivial, ¡eso significa que soy MUCHO más inteligente que tú!”

EDITAR: Anoche, estaba leyendo Cómo piensan los matemáticos y el autor dijo que algo es trivial si se deriva directamente de definiciones y otros teoremas mediante la aplicación directa de técnicas básicas. En otras palabras, no es difícil y no necesitas saber o inventar ningún truco para que no sea difícil.

¡Que deberías hacer la prueba tú mismo!

De lo contrario, puede aparecer en el examen de fin de curso y puede terminar perplejo.

Trivial significa algo que ya se ha conocido o que se puede derivar con poco o ningún esfuerzo de los resultados conocidos. Cabe señalar que “fácil” y “trivial” no son sinónimos.

Cada vez que su profesor de matemáticas menciona en clase que la prueba es trivial, lo más probable es que se refiera a uno de estos:

• No quiero escribir todos los pasos “intermedios”.
• Si tengo que mostrarte cómo hacer esto, entonces estás en la clase equivocada.
• Pregúntele al maestro que le enseñó Matemáticas en el año anterior, o repita el año anterior antes de sentarse en esta clase.
• Espero que no haya dormido cuando discutimos el teorema XYZ que discutimos en la clase anterior, porque me niego absolutamente a repetir el teorema (esta prueba es trivial solo por el teorema XYZ).
• Esta es la parte aburrida de la prueba, así que te dejaré tomarla como una tarea / tarea.
• No recuerdo cómo va el teorema anterior (el teorema XYZ) (ahora que lo pienso, no estoy realmente seguro de que hayamos hecho esto), pero si lo dije bien (o no lo hice), entonces el El resto de esto sigue.
• Dejaré de lado todo menos la conclusión: no puedes cuestionarlo si no puedes verlo.
• Me estoy quedando sin tiempo, así que voy a suponer que sabes cómo llevarlo más lejos y, por lo tanto, omitirlo.
• No quiero escribirlo en la pizarra para no cometer un error.
• Yo mismo no sé cómo proceder, así que supongo que puedes intentarlo por tu cuenta.
• Confía en mí, es verdad!

Y si ve la palabra “trivial” escrita en un libro de texto de Matemáticas, tenga en cuenta que fue escrita por un profesor de Matemáticas que estaba inmortalizando sus clases en forma de libro para toda la posteridad.

Solo hay dos posibilidades: el escritor / hablante es flojo o no sabe responder correctamente. Mis profesores de matemáticas de nivel superior me golpearían la cabeza si escribiera ‘trivial’ en algún lugar de mi prueba hasta que demuestre claramente que entendí cualquier cosa práctica que estaba usando.

Comparable a lo que puede referirse como “bonhomie” cuando está en su círculo de amigos más cercanos. Te sientes cómodo con él, pero no estás interesado en hablar de ello.

Muchos profesores de mi universidad dicen que “palabra” trivial “implica una prueba de una línea”. Estoy totalmente de acuerdo con ellos.

“Porque es obvio para el observador casual”.

Los sobrevivientes de la “Muerte Verde” entenderán esto. 😉

La respuesta es trivial.