Los lados de un triángulo rectángulo son x, x + y, y x + 2y, donde x e y son números positivos. ¿Cuál es la razón de y a x?

Tanto [math] x [/ math] como [math] y [/ math] son positivas, por lo que [math] x + 2y [/ math] es la más grande entre [math] x [/ math], [math] x + y [/ math] y [math] x + 2y [/ math], de ahí su hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras:

[matemáticas] (x) ^ 2 + (x + y) ^ 2 = (x + 2y) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = x ^ 2 + 4xy + 4y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-2xy-3y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas] y tendrás:

[matemáticas] {x ^ 2 \ over y ^ 2} – {2xy \ over y ^ 2} – {3y ^ 2 \ over y ^ 2} = {0 \ over y ^ 2} [/ math]

[matemática] ({x \ sobre y}) ^ 2-2 ({x \ sobre y}) – 3 = 0 [/ matemática]

Sustituya [math] t [/ math] por [math] {x \ over y} [/ math]:

[matemáticas] t = {x \ over y} \ rightarrow t ^ 2-2t-3 = 0 \ rightarrow (t-3) (t + 1) = 0 \ rightarrow t = 3, t = -1 [/ math]

[matemática] \ rightarrow {x \ over y} = 3, {x \ over y} = – 1 [/ math]

[matemática] x, y> 0 \ rightarrow {x \ over y}> 0 \ rightarrow {x \ over y} = 3 [/ math]

Entonces, la única respuesta aceptable es [matemáticas] {x \ over y} = 3 \ rightarrow {y \ over x} = {1 \ over 3} [/ math]

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Aquí usaremos el teorema de Pitágoras y la factorización para encontrar la relación de y a x. Debido a que x e y son todos positivos, entonces [matemática] x

es decir x + 2y es la hipotenusa

[matemáticas] (x + 2y) ^ 2 = x ^ 2 + (x + y) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 4xy + 4y ^ 2 = x ^ 2 + x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-2xy-3y ^ 2 = 0 [/ matemáticas] factoricemos esto

[matemáticas] x ^ 2 + xy-3xy-3y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + xy) + (- 3xy-3y ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (x + y) -3y (x + y) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y) (x-3y) = 0 [/ matemáticas] es decir,

Como xey son positivos, [math] x + y [/ math] no puede ser igual a cero, por lo tanto, la única posibilidad de que los factores sean iguales a cero es

[matemáticas] x-3y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3y [/ matemáticas], por lo tanto

[matemáticas] \ frac {y} {x} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]

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Las razones de los lados son x: x + y: x + 2y :: 1: 1 + y / x: 1 + 2y / x. Si y / x = k, entonces las relaciones son 1: 1 + k: 1 + 2k. También sabemos que (1 + 2k) ^ 2 = 1 + (1 + k) ^ 2. Es decir, k (2 + 3k) = 1. Entonces, necesitamos resolver la ecuación cuadrática 3k ^ 2 + 2k – 1 = 0, entonces k = (-2 + sqrt (16)) / 6 = 1/3 (sqrt negativo no permitido). La razón de y a x es 1: 3. Tienes un triángulo 3, 4, 5.

Farough Taee

Usando el teorema de Pitágoras,
2x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = x ^ 2 + 4xy + 4y ^ 2
x ^ 2-2xy-3y ^ 2 = 0
Dividiendo ambos lados por y ^ 2,
x ^ 2 / y ^ 2 – 2x / y – 3 = 0
Deje x / y = m.
m ^ 2 – 2m -3 = 0.
Usando la fórmula cuadrática, obtenemos
m = -1 o 3.
Entonces x / y = -1 o 3
Pero como x & y son positivos,
x / y = 3
y / x = 1/3.