Esa es una gran pregunta, y (como muchas cosas en la teoría de categorías), requiere un poco de antecedentes, así que comencemos por el principio: ¿qué son los números racionales?
Bueno, una forma de verlos sería decir que hay un “problema” con los enteros: es decir, que a veces se puede dividir un entero por otro distinto de cero y otras no. Para corregir este problema, encuentra una manera de extender el conjunto de enteros al incluir nuevos elementos que se convertirán en inversos multiplicativos de enteros distintos de cero. Más precisamente, observa pares de enteros ([matemática] a, b) [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] es cualquier entero y [matemática] b [/ matemática] es cualquier entero distinto de cero, es decir, un elemento desea invertir (después de la construcción, estos pares se denotarán [math] \ frac {a} {b}) [/ math] por razones obvias). Luego impone una relación de equivalencia (visto como diferentes pares pueden representar la misma fracción) [matemática] (a, b) \ sim (c, d) \ iff ad = bc [/ math]
Y dote a los pares con las obvias operaciones de suma y multiplicación
- ¿La independencia de un teorema de un sistema formal también implica que agregarlo como axioma hace que el sistema no sea más poderoso?
- Si 2 ^ x-1 es una pseudoprima de Fermat, ¿es xa pseudoprima de Fermat?
- Cómo factorizar esta expresión completamente: [matemáticas] 12x ^ 2 + xy-6y ^ 2 + 14x + 19y-10
- ¿Qué matemática se necesita para comprender el teorema del isomorfismo de residuos normativos?
- Dos parejas fueron a ver una película. En una fila de teatro hay 12 asientos. ¿De cuántas maneras se pueden sentar si hay al menos un asiento vacío entre los 2 pares?
[matemáticas] (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd), \, (a, b) + (c, d) = (ac, bd) [/ matemáticas]
No es difícil ver que esta construcción da como resultado un nuevo anillo conmutativo donde todos los enteros distintos de cero ahora tienen inversos multiplicativos (también conocido como un campo). De hecho, esta construcción es bastante hermosa ya que satisface la propiedad universal obvia (que casualmente se puede expresar en términos de functores adjuntos):
La identidad [math] i: \ mathbb {Z} \ longrightarrow \ mathbb {Q} [/ math] envía elementos distintos de cero en [math] \ mathbb {Z} [/ math] a elementos invertibles en [math] \ mathbb {Q } [/ math], y si hay algún otro anillo [math] A [/ math] junto con un ringmorfismo [math] \ phi \ mathbb {Z} \ longrightarrow A [/ math] que satisface la misma propiedad, existe un mapa natural único [math] \ overline {\ phi}: \ mathbb {Q} \ longrightarrow A [/ math] tal que [math] \ phi = \ overline {\ phi} \ circ i [/ math] (es decir, nuestro la construcción hace lo que pretendíamos de la manera más corta posible)
Avanza un poco … Resulta que no hay nada especial sobre los enteros o el conjunto invertible que elegimos que hace que todo este negocio funcione … De hecho, si elige cualquier anillo conmutativo [matemática] A [/ matemática] y cualquier subconjunto [matemática] S [/ matemática] de [matemática] A, [/ matemática] puede construir un nuevo anillo [matemática] A_S [/ matemática] junto con un ringmorfismo [matemático] i: A \ longrightarrow A_S [/ matemática] tal que las imágenes de [math] S [/ math] son invertibles en [math] A_S [/ math] y lo hace de la manera más corta posible como antes (nuevamente, una construcción adjunta). Esto se llama la localización de [matemáticas] A [/ matemáticas] en el subconjunto [matemáticas] S. [/ matemáticas] (Debo mencionar aquí que la construcción es un poco diferente en el caso donde [matemáticas] A [/ matemáticas] tiene divisores cero: la relación de equivalencia cambia levemente y [matemática] i [/ matemática] ahora es más inyectiva como resultado, pero eso es irrelevante).
La localización del nombre puede parecer un poco extraña al principio, pero en realidad es bastante hermosa en el contexto de la geometría algebraica. Si observa cualquier variedad afín (un subconjunto de espacio afín definido por ecuaciones polinómicas) como una curva, superficie, etc. y cualquier punto [matemático] P [/ matemático] en esa variedad, hay dos dispositivos importantes asociados a [ math] P [/ math]: primero el ideal máximo [math] \ mathfrak {m} _P [/ math] que consiste en todas las funciones polinómicas que producen cero cuando se evalúa en [math] P [/ math]. En segundo lugar, el anillo local [matemática] A_P [/ matemática] en ese punto, que es el anillo de funciones polinómicas en las que declara que dos funciones son iguales si coinciden en una vecindad de ese punto, es decir, la información local alrededor de ese punto . Resulta que tomar el anillo de todas las funciones polinomiales [matemáticas] A [/ matemáticas] y localizar las funciones que no se encuentran en el ideal máximo [matemáticas] A- \ mathfrak {m} _P [/ matemáticas] produce el anillo local [matemáticas] A_P [/ matemáticas] en ese punto! (En más jerga de Grothendieckian, la localización [matemática] A_P [/ matemática] de la variedad afín Spec ([matemática] A [/ matemática]) en los elementos fuera del primo [matemática] p [/ matemática] es el tallo en el punto [matemáticas] p [/ matemáticas]). De aquí viene el nombre
Ahora a las categorías. Por razones similares, a veces puede desear invertir morfismos que no son necesariamente invertibles para empezar: considere la siguiente situación: desea estudiar algún anillo [matemática] A [/ matemática]. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, puede hacer esto estudiando la categoría de módulos sobre [math] A [/ math], [math] \ textrm {mod} (A) [/ math]. Ahora, una forma de estudiar esta categoría es mirar únicamente su información homológica: considera los complejos de módulos en cadena, define los grupos de homología de dicho complejo en cadena y se va a las carreras. En este contexto, nunca está realmente interesado en saber cuándo dos complejos de cadenas son isomórficos en la nariz, sino más bien cuando hay un morfismo de complejos de cadenas que induce un isomorfismo en los grupos de homología. Esto se llama cuasiisomorfismo (qis) para abreviar.
Resulta que (salvo algunas condiciones técnicas), se puede hacer una construcción similar a la localización de un anillo en cualquier subconjunto para localizar una categoría en cualquier conjunto de morfismos. Requiere algunas condiciones más para que todo funcione. Específicamente, necesita el conjunto de morfismos que desea invertir para satisfacer algunas propiedades (consulte 4.26.1 aquí Etiqueta 04VB: Localización en categorías). Esta localización de la categoría [math] \ mathcal {C} [/ math] en el conjunto de morfismos [math] S [/ math] es una nueva categoría [math] \ mathcal {C} _S [/ math], junto con un functor [math] i: \ mathcal {C} \ longrightarrow \ mathcal {C} _S [/ math] que envía morfismos en [math] S [/ math] a los invertibles en [math] \ mathcal {C} _S [ / math] de tal manera que cualquier otra categoría [math] \ mathcal {D} [/ math], junto con un functor [math] F: \ mathcal {C} \ longrightarrow \ mathcal {D} [/ math] que también envía morfismos en [math] S [/ math] a los invertibles necesariamente factores únicos a través de un functor [math] \ overline {F}: \ mathcal {C} _S \ longrightarrow \ mathcal {D} [/ math] tal que [ matemáticas] F = \ overline {F} \ circ i [/ matemáticas]
¡Si realiza esta construcción para la categoría de complejos de cadena (delimitados) de módulos sobre un anillo, obtendrá la famosa categoría derivada delimitada de ese anillo [math] \ mathcal {D} ^ b (A) [/ math]! (Estoy omitiendo los detalles que no se cumplen; no satisfacen las condiciones necesarias, pero hay una solución alternativa ..)
De hecho, al igual que no había nada especial en el ejemplo particular de los enteros, no hay nada especial en la categoría de módulos sobre un anillo. Puede traducir esta construcción literalmente para cualquier categoría abeliana (de esta manera, también puede considerar la categoría acotada de gavillas coherentes en una variedad, que también es una categoría abeliana, por ejemplo)
¡Estudiar la relación entre álgebra y geometría al ver cómo estas dos categorías derivadas pueden relacionarse entre sí es el punto de partida de la geometría algebraica no conmutativa como se hace hoy!
Espero que esto aclare las cosas un poco…
