Usemos el cálculo mental.
5 al cuadrado es 25, que es mayor que la base de 20. Entonces, la respuesta es mayor que 0.5.
Cuanto mas grande Bueno, hagamos un cálculo aproximado.
25 es 25% más grande que 20. Esto es un factor de 1.25.
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[matemáticas] \ sqrt {1.25} \ aprox 1.12 [/ matemáticas]
Ahora [matemáticas] e ^ 3 \ aprox 20 [/ matemáticas]. Lo que esto significa es que la gráfica de [matemáticas] 20 ^ x [/ matemáticas] aumenta 3 veces más rápido en comparación con [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].
[matemáticas] 20 ^ x \ aprox (e ^ 3) ^ x = e ^ {3x} [/ matemáticas]
Alrededor de 1, esto hace que sea fácil adivinar el registro de 1.12. En todas las bases, log 1 = 0.
Debido a que el gráfico aumenta 3 veces más rápido, [math] \ log _ {20} {1.12} \ approx \ ln {1.04} [/ math].
[matemáticas] \ ln {1.04} \ aproximadamente 0.04. [/ matemáticas]
Sumado al 0.5 con el que comenzamos, obtenemos nuestra respuesta de 0.54.
Una calculadora da 0.537.
ACTUALIZAR:
Aquí hay otra forma de calcular mentalmente [math] log_ {20} (5) [/ math].
[matemáticas] log_ {20} (5) = \ frac {1} {log_ {5} (20)} = \ frac {1} {log_ {5} (5) + log_ {5} (2) + log_ { 5} (2)} = \ frac {1} {1 + 2 (log_ {5} (2)} [/ math]
[math] log_ {5} (2) [/ math] puede estimarse al darse cuenta de que [math] 2 ^ 7 = 128 \ aprox 5 ^ 3 = 125 [/ math].
Esto significa que [math] log_ {5} (2) \ aprox 3/7 [/ math].
¿Por qué? Bueno [matemáticas] 2 ^ 7 \ aprox 5 ^ 3 = log (2 ^ 7) \ aprox log (5 ^ 3) = 7 log (2) \ aprox 3 log (5) = log (2) / log (5) \ aproximadamente 3/7 [/ matemáticas]
Poniendo todo junto: [matemática] \ frac {1} {1 + 2 log_ {5} (2)} \ aprox \ frac {1} {1 + 2 (3/7)} = 7/13 [/ matemática]
Nuestra respuesta ahora será: [matemáticas] 7/13 \ aproximadamente 0.538 [/ matemáticas]
Podemos hacerlo aún mejor resolviendo el factor 125/128, tomando la séptima raíz y traduciéndolo a un logaritmo (que es más fácil de lo que parece), pero por ahora, dejémoslo.
