“Los” coeficientes de Clebsch-Gordan típicamente se refieren a los coeficientes para el grupo de rotación [matemática] SU (2) [/ matemática] o [matemática] SO (3) [/ matemática] (esto es lo que respondió Geoffrey Irving), pero esto concepto es bueno para cualquier grupo.
La forma abreviada de la respuesta es: Los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes para descomponer un producto tensorial de representaciones irreducibles (irreps) de un grupo en una suma directa de irreps.
El principio general en el trabajo aquí es de la teoría de la representación (matemáticas), una parte de la teoría de grupos (matemáticas). Para algún grupo, uno puede encontrar varias representaciones diferentes como un conjunto de matrices con alguna dimensión. Para el grupo de rotación, normalmente se ven representaciones como matrices tridimensionales. Sin embargo, hay muchas más representaciones (de hecho, para el grupo de rotación, un número infinito de ellas).
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Hay varias cosas diferentes que puede hacer con representaciones de grupos. Una acción es tomar la suma directa de dos representaciones, que en matrices sería formar una matriz diagonal de bloque a partir de las dos representaciones, una en el bloque superior izquierdo y otra en el bloque inferior derecho.
[matemáticas]
g \ in G
[/matemáticas]
[matemáticas]
R_1 (g) = \ mathbf {a} = \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots \\\\
a_ {21} y a_ {22} y \ ldots \\\\
\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}
[/matemáticas]
[matemáticas]
R_2 (g) = \ mathbf {b} = \ begin {pmatrix} b_ {11} & b_ {12} & \ ldots \\\\
b_ {21} y b_ {22} y \ ldots \\\\
\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}
[/matemáticas]
[matemáticas]
R_3 = R_1 \ oplus R_2
[/matemáticas]
[matemáticas]
R_3 (g) = \ begin {pmatrix} \ mathbf {a} & \ mathbf {0} \\\\
\ mathbf {0} y \ mathbf {b} \ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Algunas representaciones son reducibles, lo que significa que bajo un cambio de base unitario adecuado, la representación tomará una forma diagonal de bloque. Eso significa que puede escribir la representación como la suma directa de otras representaciones. Las repeticiones que no pueden reducirse se llaman irreductibles.
Otra cosa que puede hacer es formar el producto tensorial de dos repeticiones, que en las matrices está formando una matriz de bloques donde cada bloque [matemáticas] i, j [/ matemáticas] tiene una matriz [matemáticas] a_ {i, j} B [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] son los coeficientes de la primera matriz y [matemática] B [/ matemática] es la segunda matriz,
[matemáticas]
R_4 = R_1 \ otimes R_2
[/matemáticas]
[matemáticas]
R_4 (g) = \ begin {pmatrix}
a_ {11} \ mathbf {b} y a_ {12} \ mathbf {b} y \ ldots \\\\
a_ {21} \ mathbf {b} y a_ {22} \ mathbf {b} y \ ldots \\\\
\ vdots & \ vdots & \ ddots
\ End {pmatrix} \ ,.
[/matemáticas]
Ahora puede sorprender o no que pueda realizar una transformación unitaria para llevar el producto de arriba en forma de bloque diagonal. Es decir, hay alguna matriz unitaria U tal que
[matemáticas]
\ begin {pmatrix}
a_ {11} \ mathbf {b} y a_ {12} \ mathbf {b} y \ ldots \\\\
a_ {21} \ mathbf {b} y a_ {22} \ mathbf {b} y \ ldots \\\\
\ vdots & \ vdots & \ ddots
\ end {pmatrix} = \ mathbf {U} ^ \ daga
\ begin {pmatrix} \ mathbf {c} & \ mathbf {0} & \ ldots \\\\
\ mathbf {0} & \ mathbf {d} & \ ldots \\\\
\ vdots & \ vdots & \ ddots
\ end {pmatrix}
\ Mathbf {T} \ ,,
[/matemáticas]
donde cyd son algunas otras representaciones (irreductibles). Para denotar esto, las personas suelen escribir expresiones abstractas como [math] \ mathbf {3} \ otimes \ bar {\ mathbf {3}} = \ mathbf {1} \ oplus \ mathbf {8} [/ math]. La matriz de transformación, U, codifica el cambio de base entre el producto tensorial y la descomposición de suma directa (irreducible). Estos son los coeficientes Clebsch-Gordan.
Bonificación: para el grupo de rotación, las representaciones dimensionales finitas son las matrices Wigner D. La matriz
[matemáticas] D ^ \ ell_ {m, m ^ \ prime} (\ phi, \ theta, \ psi) [/ matemáticas]
es la representación dimensional [matemática] \ ell [/ matemática] de un elemento de grupo que se parametriza con ángulos de Euler [matemática] \ phi, \ theta, \ psi [/ matemática]. Los armónicos esféricos están relacionados con las matrices Wigner D a través de
[matemáticas] Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ left (\ frac {2 \ ell + 1} {4 \ pi} \ right) ^ {1/2} D ^ \ ell_ {0 , m} (\ phi, \ theta, 0). [/ math]
Por lo tanto, los armónicos esféricos son representaciones del grupo de rotación, también, de otra manera.
