¿Cuál es la conexión entre el teorema de Noether y el principio de incertidumbre de Heisenberg?

El Principio de incertidumbre de Heisenberg dice que no se puede saber todo acerca de los dos parámetros, y que cuanto más sepa sobre uno, menos inevitablemente podrá descubrir sobre el otro.

La desigualdad de Bell dice que esto es intrínseco a la forma en que funciona el universo. No es solo que no podamos encontrar más información que esa (sobre la partícula dada, por ejemplo), sino que simplemente no existe más información que esa.

El teorema de Noether dice que los dos parámetros están conectados (la ley de conservación de uno sigue como consecuencia de la simetría que siente el otro). Los dos parámetros son solo dos caras de la misma moneda, así que comparte un conjunto de información, no dos.

Esto sugiere, al menos para mí, que la Desigualdad de Bell y el Principio de incertidumbre de Heisenberg siguen como consecuencia del Teorema de Noether (y que la segunda ley de la termodinámica se deriva del Principio de incertidumbre de Heisenberg (New Scientist, 23-jun-2012, p8 y 13-oct) -2012, p32) ya que sin él, habría suficiente información disponible para hacer un Demonio de Maxwell).

Por lo tanto, se parece cada vez más a que el Teorema de Noether es nuestra Teoría de todo desde hace mucho tiempo.

Teorema de Noether: Wikipedia nos muestra que

• La conservación del impulso solo puede ocurrir si tiene invariancia traslacional : un experimento realizado en un lugar obtendrá el mismo resultado si se realiza en otro lugar.
• La conservación de la energía solo puede ocurrir si tiene invariancia temporal : un experimento realizado mañana obtendrá el mismo resultado que un experimento realizado hoy.

Principio de incertidumbre: Wikipedia nos muestra que en el límite cuántico

• Una medición del impulso de algo reducirá cuánto podemos saber sobre su posición .
• Una medición de la energía de algo reducirá cuánto podemos saber sobre su tiempo .

Cuando combinas el teorema de Noether con la paradoja de Zenón, obtienes el principio de incertidumbre.

Si no puede existir un intervalo de tiempo sin ser divisible en intervalos más pequeños, entonces, en el nivel más fundamental, no se puede decir que 2 eventos sean absolutamente simultáneos ya que nunca podrían ocupar exactamente el mismo intervalo de tiempo. En este sentido, la simultaneidad (no en el sentido relativista) no existe. Principio de incertidumbre como imposibilidad de simultaneidad

Ahora que hemos mirado atentamente, retrocedamos un poco de la imagen para ponerla en un contexto más amplio. Tal vez podamos conectar los problemas de simultaneidad cuántica con los de la relatividad general.

La formulación más general del teorema de Noether (1915) establece que cada simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente. Mirando una lista de variables que satisfacen tanto el teorema de Noether como el principio de incertidumbre:

• La energía de una partícula en un determinado evento es la negativa de la derivada de la acción a lo largo de una trayectoria de esa partícula que termina en ese evento con respecto al momento del evento.
• El momento lineal de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su posición .
• El momento angular de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su orientación (posición angular).
• El potencial eléctrico (φ, voltaje) en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de la carga eléctrica (libre) en ese evento.
• El potencial magnético (A) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de la corriente eléctrica (libre) en ese evento.
• El campo eléctrico (E) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de polarización eléctrica en ese evento.
• La inducción magnética (B) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la magnetización en ese evento.
• El potencial gravitacional newtoniano en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo de gravitación newtoniano con respecto a la densidad de masa en ese evento.
• En mecánica de fluidos, la acción en sí (o potencial de velocidad ) es la variable conjugada de la densidad

De: Variables conjugadas – Wikipedia

Parece que tenemos casi todos los ingredientes para una teoría de todo aquí. Pero, ¿qué debemos asumir sobre nuestras condiciones límite? ¿Cómo es importante un límite divergente para la ciencia? Aquí es donde tienes que enfrentar el dilema de la renormalización. ¿Por qué la mecánica cuántica y la relatividad general son incompatibles? En este punto, empiezo a imaginar el mundo cuántico como compuesto por pequeños circuitos eléctricos para los cuales puedes resolver los campos locales con el método del grupo de renormalización en el espacio real. Hago lo mismo para las distribuciones de estrellas y galaxias y empiezo a imaginar que todo es auto similar desde la escala de las partículas fundamentales hasta la escala del universo. Luego miro la relatividad de la escala – Wikipedia y me encojo de hombros.

Utilizamos el teorema de Noether en la mecánica clásica y cuántica específicamente cuando hablamos de leyes de conservación, así como de simetrías. Sin embargo, la diferencia es que en la mecánica clásica, se sabe que nuestras variables son ciertas y lo contrario es cierto en el otro, es decir, las variables inciertas en la mecánica cuántica. Se puede pensar que los electrones son blancos y negros.

El principio de incertidumbre de Heisenberg, por otro lado, solo es válido en una escala cuántica donde las leyes clásicas dejan de ser válidas y da una limitación a las incertidumbres variables conjugadas canónicamente en un estado dado.

Considere una variable dada en la mecánica cuántica, si es incierta, ¿significa necesariamente que su valor esperado no se conserva? NO, porque una superposición de estados de movimientos libres también es un estado de movimiento libre, aunque el impulso, por ejemplo, puede ser incierto. La dinámica del valor de expectativa de momento se determina con una fuerza externa, como en la mecánica clásica. (Ver las ecuaciones de Ehrenfest). Sin fuerza externa, sin variación del valor esperado [matemáticas]

[/ matemáticas].

Entonces, sí, puedo decir que en cierto sentido están relacionados, pero no de manera significativa. Podemos observar la relación de la mecánica hamiltoniana de que cada variable dinámica puede interpretarse como un generador infinitesimal de alguna transformación canónica, o la noción mecánica cuántica de que cada operador hermitiano genera una transformación unitaria.

El principio de Heisenberg es cierto para cualquier variable con un espectro continuo y el generador infinitesimal de traducciones en esa variable, solo porque estas variables siempre tienen un conmutador distinto de cero en todos los estados posibles, posición y momento, ángulo y momento angular, carga y fase, estos son todos conjugados en mecánica clásica. El operador de carga genera rotaciones infinitesimales en la fase de las funciones de onda de partículas cargadas, no cambios en el potencial (probablemente estaba pensando en el efecto de una transformación de indicador en un potencial, sino en una transformación de indicador global, el tipo que le da el teorema de Noether para la carga , no hace absolutamente nada al potencial).

El teorema de Noether establece que cuando las traducciones de una determinada variable son una simetría, el generador infinitesimal de esas traducciones se conserva. Por lo tanto, las traducciones en x, las traducciones en ángulo y las traducciones en fase proporcionan la conservación del momento, el momento angular y la carga. Pero estos generadores obedecen el principio de incertidumbre de Heisenberg con sus variables conjugadas.

La relación es que tanto HUP como Noether hablan sobre pares canónicamente conjugados