¿Cuál es el significado físico de divergencia, curvatura y gradiente de un campo vectorial?

Diferentes personas pueden encontrar diferentes analogías / visualizaciones útiles, pero aquí hay un posible conjunto de “significados físicos”.

Divergencia:
Imagine un fluido, con el campo vectorial que representa la velocidad del fluido en cada punto del espacio. La divergencia mide el flujo neto de fluido fuera (es decir, divergiendo de) un punto dado. Si el fluido fluye hacia ese punto, la divergencia será negativa.

Un punto o región con divergencia positiva a menudo se conoce como una “fuente” (de fluido, o lo que sea que describa el campo), mientras que un punto o región con divergencia negativa es un “sumidero”.

Rizo:
Volvamos a nuestro fluido, con el campo vectorial que representa la velocidad del fluido. El rizo mide el grado en que el fluido gira alrededor de un punto dado, con remolinos y tornados que son ejemplos extremos.

Imagine un pequeño trozo de fluido, lo suficientemente pequeño como para que el rizo sea más o menos constante dentro de él. También se encoge muy pequeño y se le dice que necesita nadar una vuelta alrededor del perímetro de ese trozo de líquido. ¿Eliges nadar en sentido horario o antihorario? Si la curvatura de la velocidad es cero, entonces no importa. Pero, si no es cero, entonces en una dirección iría principalmente con la corriente, y en la otra dirección iría principalmente en contra de la corriente, por lo que su elección de dirección sería importante. El signo del rizo te dirá cuál es la opción correcta.

Degradado:
Si bien es perfectamente válido tomar el gradiente de un campo vectorial, el resultado es un tensor de rango 2 (como una matriz), por lo que es más difícil de explicar en términos intuitivos (aunque tal vez alguien más lo maneje). Entonces, en cambio, hablaré sobre el gradiente de un campo escalar : específicamente, el campo que da la elevación del suelo sobre el nivel del mar en un punto dado de la Tierra (especificado, por ejemplo, en términos de latitud y longitud).

En esa situación, el gradiente es bastante simple: apunta “cuesta arriba” (en la dirección más empinada), y la magnitud te dice cuán empinada es. Por ejemplo, si el gradiente apunta hacia el noreste con una magnitud de 0.2, entonces la dirección de la subida más empinada es hacia el noreste, y cada metro que viaje hacia el noreste resultará en una ganancia de elevación de 0.2 metros.

Para el gradiente de un campo vectorial, puede considerarlo como el gradiente de cada componente de ese campo vectorial individualmente, cada uno de los cuales es un escalar.

Gradiente :

Es un vector. Por lo tanto, podemos identificarlo completamente usando dos piezas de información:

1- Dirección : apunta en la dirección del mayor aumento de la función.

2- Magnitud : su magnitud determina la pendiente (la derivada) de esa dirección.

Divergencia :

fue inventado por Maxwell, necesitaba una cantidad que determinara la velocidad del flujo del campo eléctrico hacia una carga negativa (al principio se llamó convergencia, pero luego Oliver la llamó Divergencia).

es una cantidad escalar, si es positiva, entonces es una fuente (los vectores fluyen de ella o “divergen”), si es negativa, entonces es un sumidero (los vectores fluyen hacia adentro).

Rizo :

determina cuánto se retuerce (riza) un campo vectorial en un punto específico, si en el océano y el rizo apunta hacia abajo y estás en un barco este día no es tu día de suerte.

div significa divergencia y está escrito: [math] \ nabla \ cdot \ xi [/ math] (donde [math] \ xi [/ math] es el valor / función de la que está tomando la divergencia).

grad representa el gradiente y se escribe: [math] \ nabla \ xi [/ math].

Si imaginara una función que opera en el espacio 3D, entonces los dos operadores funcionan así:

[matemáticas] div (\ xi (x, y, z)) = \ nabla \ cdot \ xi (x, y, z) = \ frac {\ partial \ xi_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ xi_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial \ xi_z} {\ partial z} [/ math]

[matemáticas] grad (\ xi (x, y, z) = \ nabla \ xi (x, y, z) = \ left (\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}, \ frac {\ partial \ xi} {\ partial y}, \ frac {\ partial \ xi} {\ partial z} \ right) [/ math]

Físicamente: el gradiente es la tasa de cambio en cada dirección de los componentes y la divergencia es la medida de algo que entra o sale de un área específica. Si estuvieras en un tobogán y quisieras saber en qué dirección viajarías, el gradiente indicará la pendiente en la que te encuentras y, por lo tanto, en qué dirección comenzarás a deslizarte hacia abajo. Si 50 tobogganers estuvieran en la cima de una montaña y todos comenzaran a bajar la colina en una dirección diferente, la divergencia de la cima de la montaña indicaría una salida de tobogganers.

En CFD estaríamos interesados ​​en un cálculo que implique algo como la velocidad del fluido o la presión del fluido en un determinado lugar físico. Las ecuaciones con las que trabajamos tienen tanto gradientes como divergencia incorporados, lo que representa la difusión y la advección dentro del flujo. Al igual que con el ejemplo del tobogán, si buscara el gradiente de velocidad en un nodo, representaría la tasa de cambio dentro de cada dirección. La divergencia del flujo de una región específica se relacionará físicamente con la compresibilidad del fluido, o si está modelando una fuente / sumidero. Si el fluido es incompresible, obtenemos la ecuación de abeja libre de [math] \ nabla \ cdot \ vec {v} = 0 [/ math]

Como los campos vectoriales son fundamentales para la mecánica de fluidos, encuentro que el agua produce maravillosos ejemplos físicos de estos operadores en acción.

Divergencia: abre una llave y observa cómo fluye el agua hacia afuera cuando golpea el fregadero. El flujo de agua se está alejando de una fuente. La divergencia es la densidad de ese flujo a medida que se extiende desde ese punto. Cuando el agua viaja por el desagüe converge, lo que es una divergencia negativa.

Rizo: Cuando el agua baja por el desagüe, es posible que la veas girando en rotación. El rizo del campo de velocidad describe la rotación local de ese fluido, que define su vorticidad.

Gradiente: si abrió el grifo de agua caliente para que arroje una corriente en el fregadero de agua fría, el gradiente apuntará a lo largo de la corriente. El gradiente siempre apunta en la dirección de la tasa máxima de cambio en un campo.

Casi todos los libros de texto hacen un buen trabajo al definir lo que significan estos términos desde una perspectiva de dinámica de fluidos. Si pudiera explicarlo, sin las matemáticas, por lo que entendí:

Divergencia : de un campo vectorial (velocidad [matemática] \ vec {V} [/ matemática]) de un elemento fluido representa la magnitud de la tasa de cambio de volumen de ese elemento para una masa dada.

Curl: si puede imaginar un fluido rotativo, use la mano derecha para curvar los dedos en la dirección de la rotación del fluido. Su pulgar le dará la dirección del vector de rizo para ese campo de flujo.

Gradiente : aunque tomar el gradiente de un vector es bastante común, por ejemplo [matemáticas] \ nabla (\ rho \ vec {v}) [/ matemáticas], físicamente, si el gradiente de un escalar (digamos Presión, [matemáticas] \ se toma nabla (P) [/ math]), el vector resultante le da la dirección en la que la propiedad escalar cambia más su magnitud.

Al referirse a los textos también se detallarán las matemáticas, que es bastante esencial para comprender estas propiedades desde el frente de una aplicación.

Degradado :-

El gradiente es la tasa de cambio multidimensional de una función dada . “El vector gradiente es un representante de dichos vectores que dan el valor de diferenciación (significa característica de la curva en términos de valor creciente y decreciente en 3 o múltiples dimensiones) en toda la dirección de 360 ​​° para el punto dado en la curva”

Sabemos que la representación vectorial está en forma de vector unitario de x, y, z. Para que un vector esté siempre compuesto de componentes x, y, z Así se puede aplicar el mismo método para el gradiente Pero en este caso los componentes x, y, z son un poco diferentes Primero tome la proyección de la curva tridimensional dada [z = f (x, y)] en el plano x, z para que signifique constante y. Ahora tome la diferenciación de a = f ‘(x) en constante y. Entonces, esta ‘a’ es el componente ‘x’ del vector de gradiente (por lo que la diferenciación parcial no es más que diferenciar en el plano de curva proyectado). Siguiendo este método y, se pueden obtener ambos.

Aquí hay un video para la visualización de lo anterior

Si tomamos un producto de punto entre el gradiente y el vector, podemos obtener la característica de aumento o disminución de la curva en la dirección x por producto de punto. Entonces, si queremos obtener la característica de aumento o disminución en la dirección (x, y, z) por su producto de punto con vector de gradiente, entonces, en base a esto, podemos decir que hemos convertido toda la característica del sistema de forma escalar a la forma de vector .

Divergencia: –

La divergencia de la calidad del vector indica cuánto se extiende la calidad del vector desde cierto punto (es una medida de cuánto se une o se separa un campo). Piense en el agua que proviene de un grifo.

Imagine un fluido, con el campo vectorial que representa la velocidad del fluido en cada punto del espacio. La divergencia mide el flujo neto de fluido fuera (es decir, divergiendo de) un punto dado. Si el fluido fluye hacia ese punto, la divergencia será negativa.

Un punto o región con divergencia positiva a menudo se conoce como una “fuente” (de fluido, o lo que sea que describa el campo), mientras que un punto o región con divergencia negativa es un “sumidero”. Cuando la divergencia es cero, la cantidad que “fluye” debe ser igual a la cantidad que fluye.

Rizo: –

La curvatura de la calidad del vector indica cuánto se curva o gira la calidad del vector .

Curl te dice cuánta calidad de vector está girando (rizado) alrededor de un punto. Piensa en el agua giratoria en un balde tiene rizo. Puede medir el rizo colocando un pedazo de polvo en el líquido y viendo si gira alrededor de su propio eje.

Para tener una idea de lo que el rizo le hace a un campo; En un remolino o un tornado, todo el rizo está en el embudo central, y el campo (viento) se envuelve alrededor del rizo.

Si W es la forma en que sopla el viento, entonces el tornado es el rizo de W. El rizo es el “giro” del campo, que apunta alrededor del rizo. Aunque el viento alrededor del tornado se está moviendo, toda la torsión ocurre solo en el tornado mismo.

Los tres son derivados . La diferencia está en lo que operan y cómo se calculan.

Considere una superficie, digamos un lecho de río que está seco en verano. El gradiente da la dirección de la pendiente máxima en un punto. En otras palabras, nos dice en qué dirección desde un punto fluirá el agua máxima, si estuviera presente.

Ahora, durante la temporada de lluvias, el río fluye y desea detectar la presencia de remolinos. La divergencia del campo de velocidad del agua observa el flujo radial neto en un punto, es decir, si fluye más agua hacia un punto que hacia afuera.

En la figura siguiente, A es un sumidero, mientras que B es una fuente.

Sin embargo, el vector de velocidad también tiene una variación espacial que no se describe por la divergencia. A medida que el agua se mueve radialmente hacia adentro o hacia afuera desde un punto, su velocidad cambia y hace que gire. Esto viene dado por la curvatura del campo de velocidad del agua. Esto nos dice acerca de la intensidad del remolino: qué tan rápido absorbe algo en el vórtice, qué tan grande es el ‘ojo’ del remolino y cómo este ‘ojo’ está cambiando con el tiempo.

En la figura siguiente, A tiene un rizo en sentido horario alrededor, mientras que B tiene un rizo en sentido antihorario, lo que indica que el vector de velocidad es menor entre A y B que a ambos lados de A y B.

Esto ocurre solo en el campo vectorial.

Si considera un punto en un campo magnético archivado en el centro de las piezas polares, hay un campo magnético uniforme en el punto de la línea de campo en la misma dirección. En tal campo, no tome punto. La divergencia del campo magnético es cero.

Si las piezas polares tienen una forma diferente, entonces el campo magnético no es uniforme punto a punto, hay un cambio en el campo. Considere dos puntos cerca. El campo magnético es diferente, por lo tanto, hay una diferencia en el campo magnético o la divergencia no es cero.

“El cambio es la fuerza de un campo en el punto que se llama divergencia”. La divergencia puede ser positiva o negativa. Depende de la dirección del vector más grande en ese punto.

La curvatura está relacionada con el campo circular, el campo a lo largo de un conductor que transporta corriente es circular, ya sea en sentido horario o antihorario, dependiendo de la dirección del flujo de corriente. Si la corriente es constante (constante) y el cable es recto, el rizo es cero porque el campo es uniforme.

Si la corriente varía y el conductor no es recto, entonces el campo no es uniforme. Considere un punto en el campo no uniforme en ese punto y en el punto vecino hay un cambio en el campo, por lo tanto, el rizo no es cero. Puede ser positivo o negativo dependiendo de la dirección del flujo de corriente.

La divergencia te dice cuánto cosas divergen de un punto. Piense en el agua que viene de un grifo.

Curl te dice cuántas cosas gira (riza) alrededor de un punto. La rotación del agua en un balde tiene rizos. Puede medir el rizo colocando un pedazo de polvo en el líquido y viendo si gira alrededor de su propio eje. (Aunque, para confundirlo, un remolino no tiene rizos. Coloque una mota de polvo en un remolino y, a medida que desciende en espiral por el desagüe, si lo observa de cerca, no girará sobre su propio eje).

Gradient te dice cuánto cambia algo a medida que te mueves de un punto a otro (como la presión en una corriente).

Si desea saber aún más (de lo que se menciona en las excelentes respuestas anteriores), eche un vistazo a ” Div, Grad, Curl y All That: An Informal Text on Vector Calculus

Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus (Cuarta edición): HM Schey: 9780393925166: Amazon.com: Libros

Comienza con por qué se inventaron tales operadores en primer lugar y ofrece buenas derivaciones de las fórmulas.

Erik Anson ha dado una buena respuesta. Solo quiero agregarlo con algo más simple.

1. Imagine una partícula cargada, tiene un campo eléctrico por todas partes. La divergencia de este campo eléctrico es la propia partícula cargada.

2. Ahora mueva esa partícula cargada, entonces generaría un campo magnético. La curvatura es el campo magnético generado por esa partícula en movimiento.

3. El gradiente de un campo vectorial es complicado, así que usemos el gradiente de un campo escalar. Si queremos llevar otra partícula cargada alrededor de una partícula cargada existente, necesitaremos algo de energía. El gradiente de esta energía es el campo eléctrico de esa partícula cargada existente.

Curl es un operador vectorial que describe la rotación infinitesimal de un campo vectorial, [math] \ mathbf {F} (x, y, z) = [F_x, F_y, F_z] [/ math], denotado [math] \ mathbf { \ text {curl} \ F} [/ math] o [math] \ mathbf {\ text {rot} \ F} [/ math] y se define como

[math] \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {F} = (\ frac {\ partial {F_z}} {\ partial y} – \ frac {\ partial {F_y}} {\ partial z}) \ mathbf {\ hat {i}} + (\ frac {\ partial {F_x}} {\ partial z} – \ frac {\ partial {F_z}} {\ partial x}) \ mathbf {\ hat {j}} + ( \ frac {\ partial {F_y}} {\ partial x} – \ frac {\ partial {F_x}} {\ partial y}) \ mathbf {\ hat {k}} [/ math],

que es un vector a lo largo del eje de rotación.

La divergencia es un escalar que indica la tasa de cambio de la extensión, o la dilatación del campo vectorial.

El gradiente es un vector que describe la magnitud y la dirección de la tasa máxima de cambio de un campo escalar.

El rizo es un vector que mide la rotación o circulación de un campo vectorial.

Solo considere este ejemplo:

En una habitación, si aumentamos la temperatura, el aire en la habitación comienza a expandirse. Ahora considere una región esférica en esta habitación, ya que el aire en la habitación se está expandiendo, el aire se mueve constantemente fuera de la región …

Por lo tanto, las velocidades de las partículas de aire apuntan hacia afuera de esa región. Ahora, como sabemos que la velocidad es un vector, podemos decir que la divergencia del campo de velocidad es positiva en este caso.

Es decir, si en una región particular (donde está presente un campo vectorial, sea E ), si las líneas de campo de E se están moviendo fuera de esa región (o apuntan hacia afuera de esa región) al igual que las velocidades de las partículas de aire en el ejemplo anterior , decimos que E tiene una divergencia positiva en esa región en particular, mientras que, si las líneas de campo entran (o apuntan hacia adentro de esa región), decimos que E tiene una divergencia negativa en esa región en particular.

Si consideramos que la región es infinitesimal, obtenemos la divergencia en el punto donde se encuentra la región.

Si las líneas de campo de un campo vectorial están girando, el rizo de ese campo vectorial proporciona la dirección del eje de rotación sobre el que giran las líneas de campo.

El gradiente de un campo vectorial en cualquier punto es la dirección de cambio máximo en ese campo vectorial, es decir, el gradiente apunta en la dirección normal a ese campo vectorial.

la respuesta dada por @Eric Anson es muy precisa y aún tienes alguna confusión para ver los videos en youtube de ‘the open university’

este video trata sobre el ‘Curl’ y hay otros 2 videos que explican sobre Divergencia y Gradiente.

Los tres comienzan con el operador de nabla.

Uno es un producto salar, el otro es un producto de puntos, y el último es un producto vectorial, que conduce a un resultado vectorial, escalar y vector, respectivamente.

En un recipiente con líquido en movimiento, imagine un punto, x, que se detenga.

Divergencia: imagine una pequeña esfera centrada en x. A medida que el fluido se mueve a través de la superficie esférica, algo de fluido ingresa a la esfera y parte sale. La diferencia [(cantidad hacia fuera) – (cantidad hacia adentro)] es la divergencia en x. (Caso especial: si el fluido es incompresible, entonces la cantidad que entra en la esfera es igual a la cantidad expulsada, por lo que la divergencia es cero).

Rizo: pegue una veleta de juguete ingrávida para centrarla en x. ¿Qué tan rápido gira la veleta? La cantidad de rotación es la cantidad de curvatura en x.

Degradado:

En primer lugar, este es principalmente diferente de los dos anteriores. La divergencia y el rizo suponen la presencia de un campo vectorial; de hecho, uno tiene la divergencia de un campo vectorial y la curvatura de un campo vectorial . (En el caso de nuestro fluido, este campo vectorial es el campo de velocidad v (x) del fluido; es decir, v (x) es la velocidad, una cantidad vectorial, con la que el fluido fluye más allá del punto imaginario x.

Pero gradiente … Uno puede tener el gradiente de un campo escalar , y de hecho es el contexto más simple para explicar el gradiente. Entonces, ahora en lugar de un fluido, tenemos un bloque sólido de metal, y en cada punto x en el bloque, tenemos la temperatura T (x) en x. Cuando tratamos de alejarnos de x en varias direcciones (cada paso candidato dado por un vector dx), terminamos en un nuevo punto, x + dx, con una nueva temperatura, T (x + dx). El gradiente de T en x es ese vector dx dirigido de modo que el cambio de T (x) a T (x + dx) es mayor, y la magnitud del gradiente es la tasa de ese cambio.

Haga una búsqueda de Quora en el rizo de divergencia. Encontrarás muchas, muchas respuestas.

Por ejemplo: la respuesta de Steve Schafer a ¿Cuál es la divergencia de un campo vectorial?

Wikipedia es tu amigo. Aquí hay divergencia. Divergencia – Wikipedia

Y rizo. Curl (matemáticas) – Wikipedia

Y gradiente. Gradiente – Wikipedia

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