Aquí hay un ejemplo de matemática pura (hay muchos otros, pero este merece ser mejor conocido). Todo aquí está tomado de un artículo de Harvey Friedman [1].
Una palabra es una secuencia de letras . Para nuestros propósitos actuales, las letras serán solo {A, B, C}. Entonces ABACAB es una palabra, como lo es BAABAACCCC. Una palabra X está contenida en otra palabra Y si puede encontrar las letras de X, en orden, entre las letras de Y en su orden allí. (Saltar algunas letras está bien). Por ejemplo, ABA está contenido en BBB A AACA B CC A como se muestra con las letras en negrita. Sin embargo, AB no está contenido en BA, ni en BBBBBBBBCCCACA ya que no puede encontrar ninguna A seguida de una B en esa palabra.
Pregunta :
- ¿Qué es la evolución de Schramm-Loewner (LES)?
- ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 km?
- ¿Cuáles son las principales funciones de las cantidades vectoriales?
- ¿Puedes enumerar 10 aplicaciones de física?
- ¿Por qué S1xS1 (un toro) no es topológicamente igual que S2 (una esfera)?
¿Cuál es la palabra más larga que puede escribir para que ningún segmento, que se extiende desde la posición [matemática] m [/ matemática] a la posición [matemática] 2m [/ matemática], esté contenida en otro segmento que se extienda desde la posición [matemática] n [/ math] para posicionar [math] 2n [/ math]?
Nadie sabe la respuesta a esa pregunta, pero sí sabemos esto:
- Hay un número finito definido que es la respuesta a esa pregunta (no es el caso de que pueda escribir palabras arbitrariamente largas con esa propiedad).
- Ese número es incomprensiblemente grande.
Si nos hubiéramos restringido a un alfabeto de una sola letra, A, la respuesta a la misma pregunta habría sido 3. Según la definición, la palabra AAA está bien, pero AAAA no lo está; en este último caso, AA se extiende desde la posición 1 a la posición 2 está contenido en AAA que se extiende desde la posición 2 a la posición 4.
Si nos hubiéramos restringido a un alfabeto de solo dos letras {A, B}, la respuesta a la misma pregunta habría sido 11. Esto es difícil de probar a mano, pero escribir un programa de computadora para verificar que es bastante trivial. Una palabra que satisface la propiedad requerida es ABBBAAAAAAA.
Para tener una idea de lo que significa “incomprensiblemente grande”, definamos las siguientes funciones de estilo Ackerman:
[matemáticas] A_1 (n) = 2n [/ matemáticas]
[matemáticas] A_ {k + 1} (n) = A_k (A_k (\ cdots (A_k (1)))) [/ matemáticas]
donde hay [math] n [/ math] iteraciones de [math] A_k [/ math] en la última fórmula.
Por lo tanto, [matemáticas] A_2 (n) = 2 ^ n [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] A_3 (n) [/ matemáticas] es una torre [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {2 ^ \ ldots}} [/ matemáticas ] de altura [matemática] n [/ matemática]. Puedes ver que [math] A_3 (10) [/ math] ya es un número increíblemente grande, eclipsando fácilmente el número de partículas en el universo.
Ahora [math] A_4 (4) [/ math] es una torre de 2’s de altura 65,536, y [math] A_4 (5) [/ math] es una torre de 2’s de altura [math] A_4 (4) [/ math ], un número mucho más allá de la comprensión. [matemáticas] A_5 (5) [/ matemáticas] es un número que ni siquiera puedo comenzar a describir.
La respuesta a la pregunta anterior, sobre la palabra más larga sin segmentos de posiciones especiales contenidas entre sí, es al menos [matemática] A_7 (184) [/ matemática], mucho más allá de los números incomprensiblemente incomprensibles que acabamos de mencionar.
Sostengo que este es un número absurdamente grande con una descripción bastante simple.
[1] Harvey Friedman, “Secuencias largas finitas”. http://www.math.osu.edu/~friedma…
