¿Cómo se puede probar o darse cuenta de que (-1) * (- 1) = + 1?

Leyendo las pruebas aquí, es bastante sorprendente cuántos de ellos usan el lema [math] a * 0 = 0 [/ math] para todas [math] a [/ math], y muchas de las pruebas aquí incluso lo asumen. Si bien es cierto desde los axiomas (más acordados) que [matemática] 1 * 0 = 0 [/ matemática] porque [matemática] 1 [/ matemática] es la identidad multiplicativa, lo que demuestra que funciona para números distintos de [matemática] ] 1 [/ math] no es trivial.

Como resultado, no necesita ese lema para demostrar que ([matemáticas] -1) * (-1) = 1 [/ matemáticas].

Estos seis axiomas son suficientes:

Conmutatividad de la suma : [matemática] A + B = B + A [/ matemática] para todos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática]

Asociatividad de la adición : ([matemática] A + B) + C = A + (B + C) [/ matemática] para todos [matemática] A, B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática]

Distributividad de la multiplicación sobre la suma : [matemática] A * B + A * C = A * (B + C) [/ matemática] para todos [matemática] A, B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática]

Identidad aditiva : [matemática] A + 0 = A [/ matemática] para todos [matemática] A [/ matemática]

Identidad multiplicativa : [matemática] A * 1 = A [/ matemática] para todos [matemática] A [/ matemática]

Inverso aditivo : para todos [matemática] A [/ matemática], existe una inversa [matemática] B [/ matemática] tal que [matemática] B + A = 0 [/ matemática]

Dos bits de notación:

Para que esta prueba no esté llena de signos menos, voy a usar el símbolo [math] Q [/ math] (en lugar de [math] -1 [/ math]) para representar el inverso aditivo de [math ] 1 [/ matemáticas]. En otras palabras, estamos tratando de probar [matemáticas] Q * Q = 1 [/ matemáticas].

[Declaración X] Entonces, en otras palabras, solo recuerda que [matemáticas] Q + 1 = 0. [/ Matemáticas]

También voy a usar [math] R [/ math] para representar el inverso aditivo de [math] Q * Q [/ math], así que no tengo que escribir [math] – ((- 1) * (-1)) [/ math] repetidamente.

[Declaración Y] Entonces, en otras palabras, solo recuerda que [matemáticas] R + Q * Q = 0 [/ matemáticas].

Aquí vamos.

[matemáticas] Q * Q [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 + Q * Q + 0 [/ matemáticas] (identidad aditiva dos veces y un montón de conmutatividad / asociatividad)

[matemáticas] = (R + Q * Q) + Q * Q + (Q + 1) [/ matemáticas] (Declaración X y Declaración Y)

[matemáticas] = (R + Q * Q) + Q * Q + (Q * 1 + 1) [/ matemáticas] (identidad multiplicativa)

[matemáticas] = R + (Q * Q + Q * Q + Q * 1) + 1 [/ matemáticas] (un montón de asociatividad)

[matemáticas] = R + Q * (Q + Q + 1) + 1 [/ matemáticas] (distributividad)

[matemáticas] = R + Q * (Q + 0) + 1 [/ matemáticas] (un poco de asociatividad y declaración X)

[matemáticas] = R + Q * Q + 1 [/ matemáticas] (identidad aditiva)

[matemática] = 0 + 1 [/ matemática] (un poco de asociatividad y la declaración Y)

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas] (un poco de conmutatividad e identidad aditiva)

Y ahí estamos.

Daré una oportunidad para responder … Consideremos
Me debes una manzana = 1
Te debo una manzana = -1

Consideremos la multiplicación como una función que representa el número de veces.

Entonces 1 * 2 se convierte en que me debes dos veces una manzana cada vez.
1 * 0 me debes una manzana cero veces.
1 * -1 es que me has dado una manzana una vez más de lo que debías.
Y -1 * -1 es que te debía una manzana, pero te he dado una manzana una vez más de lo que debería, lo cual es efectivamente si me debes una manzana.

Permítanme tomar prestada una construcción euclidiana para mostrar por qué (−1) (- 1) = 1.

Tome un plano equipado con coordenadas rectangulares del tipo común, YOX , y considere los números reales como longitudes en líneas dirigidas, para que pueda ver cada punto del plano como un par ordenado de números reales ( x , y ). Nada lujoso en absoluto.

Ahora vas a multiplicar dos números reales positivos, r y s . En el eje OX , comenzando en O , use alguna unidad de longitud para marcar la longitud r en la dirección positiva. Tienes el punto ( r , 0). En el eje OY , utilice el mismo procedimiento para marcar la longitud s . Trace una línea recta S que conecta los puntos (1, 0) y (0, s ). Usando S como referencia, trace una línea R paralela a S y que pase por el punto ( r , 0). Puedes ver todo esto en la figura 1 a continuación. ¿Cuál es el valor de x ?

>> Fig. 1:

Bueno, los triángulos (0, 0) (0, s ) (1, 0) y (0, 0) (0, x ) ( r , 0) son similares. Por lo tanto:

Mientras creas en la geometría, con este método puedes probar varias propiedades de la multiplicación de números reales no negativos. Por ejemplo, puede probar que es conmutativo, o que la multiplicación es distributiva sobre la suma, o que obtiene cero si multiplica cualquier número real positivo por cero, y así sucesivamente.

Usemos una ligera adaptación de este método para multiplicar un número real negativo s por un número real positivo r . Me saltearé los detalles para mostrarte la figura 2:

>> Fig. 2:

Una vez más, los triángulos (0, 0) (0, s ) (1, 0) y (0, 0) (0, x ) (r, 0) son similares ( R y S son paralelos), y eso nos lleva a :

Y claramente x es un número real negativo si s es negativo yr es positivo.

Finalmente, usemos esta construcción euclidiana para multiplicar dos números reales negativos. Una vez más, usando la longitud de la unidad como referencia, y comenzando en O , marque la longitud r en la dirección negativa para tener el punto ( r , 0), etc. Dado que R y S son líneas paralelas, cruzan el eje OX con el mismo ángulo α , y una vez más los triángulos (0, 0) ( r , 0) (0, x ) y (0, 0) (1, 0) (0, s ) son similares, tienen todos los ángulos iguales. Puede ver todo esto en la figura 3, y nuevamente puede hacer la pregunta: ¿cuál es el valor de x ?

>> Fig. 3:

Comparando lados similares, es:

Entonces, cuando usa esta construcción euclidiana para multiplicar dos números reales negativos (visto como medida de longitudes en líneas dirigidas), obtiene un número real positivo. Si haces s = r = (−1) y sigues las instrucciones, verás que la línea R cruza el eje Y en el punto (0, 1).

Aquí hay una prueba que usa la definición estándar de los enteros con la teoría de conjuntos (con un par de ligeras modificaciones en la notación):

Vamos a definir algunas cosas.

[matemáticas] 0_N: = \ {\} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (n): = n \ cup \ {n \} [/ matemáticas]

[matemáticas] n_N: = S ^ {n} (0_N) [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ circ b: = S ^ {| b |} (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ diamond b: = \ underbrace {a \ circ a \ circ \ cdots \ circ a} _ {| b |} [/ math]

[matemáticas] Q (a, b) = Q (c, d) \ Leftrightarrow a \ circ d = b \ circ c [/ math]

[matemáticas] n: = Q (n_N, 0_N) [/ matemáticas]

[matemáticas] -Q (a, b): = Q (b, a) [/ matemáticas]

[matemáticas] Q (a, b) + Q (c, d): = Q (a \ circ c, b \ circ d) [/ matemáticas]

[matemáticas] Q (a, b) * Q (c, d): = Q ((a \ diamond c) \ circ (b \ diamond d), (a \ diamond d) \ circ (b \ diamond c)) [/matemáticas]

[matemáticas] ab: = a + (- b) [/ matemáticas]

nota: [math] f ^ n (x) [/ math] denota la composición de [math] f (x) [/ math] [matemáticas] n [/ matemáticas] veces

nota: [math] | s | [/ math] denota la cardinalidad de un conjunto [math] s [/ math]

Ahora para probar la declaración

[matemáticas] (- 1) * (- 1) [/ matemáticas]

[matemática] = (- Q (1_N, 0_N)) * (- Q (1_N, 0_N)) [/ matemática]

[matemáticas] = Q (0_N, 1_N) * Q (0_N, 1_N) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q ((0_N \ diamond0_N) \ circ (1_N \ diamond1_N), (0_N \ diamond1_N) \ circ (1_N \ diamond0_N)) [/ math]

[matemáticas] = Q ((\ {\} \ diamond \ {\}) \ circ (\ {\ {\} \} \ diamond \ {\ {\} \}), (\ {\} \ diamond \ { \ {\} \}) \ circ (\ {\ {\} \} \ diamond \ {\})) [/ math]

[matemáticas] = Q ((\ underbrace {\ {\} \ circ \ {\} \ circ \ cdots \ circ \ {\}} _ {| \ {\} |}) \ circ (\ underbrace {\ {\ {\} \} \ circ \ {\ {\} \} \ circ \ cdots \ circ \ {\ {\} \}} _ {| \ {\ {\} \} |}), (\ underbrace {\ {\} \ circ \ {\} \ circ \ cdots \ circ \ {\}} _ {| \ {\ {\} \} |}) \ circ (\ underbrace {\ {\ {\} \} \ circ \ {\ {\} \} \ circ \ cdots \ circ \ {\ {\} \}} _ {| \ {\} |})) [/ math]

[matemáticas] = Q ((\ underbrace {\ {\} \ circ \ {\} \ circ \ cdots \ circ \ {\}} _ 0) \ circ (\ underbrace {\ {\ {\} \} \ circ \ {\ {\} \} \ circ \ cdots \ circ \ {\ {\} \}} _ 1), (\ underbrace {\ {\} \ circ \ {\} \ circ \ cdots \ circ \ {\}} _1) \ circ (\ underbrace {\ {\ {\} \} \ circ \ {\ {\} \} \ circ \ cdots \ circ \ {\ {\} \}} _ 0)) [/ math]

[matemáticas] = Q (\ {\} \ circ \ {\ {\} \}, \ {\} \ circ \ {\}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q (S ^ {| \ {\ {\} \} |} (\ {\}), S ^ {| \ {\} |} (\ {\})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q (S ^ 1 (\ {\}), S ^ 0 (\ {\})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q (S (\ {\}), \ {\}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q (\ {\} \ cup \ {\ {\} \}, \ {\}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q (\ {\ {\} \}, \ {\}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = Q (1_N, 0_N) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Me gusta mostrar a los niños traducciones al inglés:

signo más = “y”; signo menos = “diferencia entre”; veces = “de”; signo de división = “por”; ciento = 100

Entonces 20% de 450 = 20/100 x 450

Si piensas en +1 como tu amigo (una persona positiva) y -1 como tu enemigo (persona negativa), entonces

1 + 1 sería tu amigo y otro amigo = 2 amigos

Pero -1 x -1 sería el enemigo de tu enemigo = tu amigo

Siempre he sentido que los estudiantes sospechan que la distribución con enteros negativos podría ser un argumento circular. En otras palabras, (-1) x (-1) = 1 podría ser una convención que produce una ley de distribución específica.

Para motivar por qué queremos que la distribución se mantenga para enteros negativos, me gusta pensar geométricamente.

Primero:

Multiplica 11 x 11 usando una cuadrícula cuadrada.

Puede ver que 11 x 11 es igual a 121 = 100 + 10 + 10 + 1 = 10 × 10 + 10 × 1 + 1 × 10 + 1 × 1.

Ahora:

Multiplicar 9 x 9 usando una cuadrícula de 10 × 10.

Puede ver que (10 + –1) x (10 + –1) = 100 – 10 – 10 + 1 = 81

(los rectángulos 10 × 1 y 1 × 10 cuentan dos veces su superposición)

entonces (10 + -1) x (10 + -1) = 100 × 100 + 10x (-1) + (-1) x10 + (-1) x (-1)

Entonces (-1) x (-1) = 1

Queremos que los enteros sigan una ley de distribución correspondiente a multiplicar usando una cuadrícula. Si acorta un lado por sustracción, la “contabilidad de los cuadrados” requiere que “agreguemos de nuevo en el cuadrado doblemente restado”.

Esto tiene que ver con las propiedades fundamentales de los números. Cada número tiene un inverso aditivo. Para [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Por la propiedad del aditivo inverso sabemos que:

[matemáticas] (1 + -1) = 0 [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] -1 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] (- 1) * (1 + -1) = 0 [/ matemáticas]

Como la suma es asociativa, tenemos

=> [matemáticas] (- 1) * (1) + (-1) * (- 1) = 0 [/ matemáticas]

Como 1 es la identidad multiplicativa, sabemos que [matemáticas] -1 * 1 = -1 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] -1 + (-1) * (- 1) = 0 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] (-1) * (- 1) = – (- 1) [/ matemáticas]
=> [matemáticas] (-1) * (- 1) = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto demostrado 🙂

En primer lugar, pensemos qué significa multiplicación por (-1).

Según nuestra comprensión de los números naturales, es bastante intuitivo y lógico llegar a la conclusión de que la multiplicación es conmutativa sobre el conjunto de números naturales (es decir, a × b = b × a donde a, b son números naturales. . Esto realmente significa que una b veces agregada es igual a b agregada una vez.) Otra vez, otra regla asociada con la multiplicación es a × 1 = a, que significa cualquier no natural. 1 vez añadido da el mismo no natural. que de nuevo es bastante intuitivo.

Pero ahora pasemos al conjunto de enteros. ¿Las reglas de multiplicación, que desarrollamos para el conjunto de Números Naturales a fuerza de una lógica algo intuitiva, seguirán siendo aplicables en virtud de la misma lógica? Veamos … ¿Podemos decir a × 1 = a cuando a es un entero negativo ? Puede ser … un entero negativo agregado 1 vez también debería ser el mismo entero … Ahora, ¿podemos decir que la multiplicación es conmutativa cuando se considera el conjunto de todos los enteros … Puede ser … ¡Pero espera! ¿Qué significa esto en realidad —— 1- × (-1)? 1 añadido (-1) veces !!! ¿Significa algo? En realidad no lo hace … porque no puedes contar un número negativo de veces … así que no puedes agregar un número negativo no. de veces !!! Pero (-1) × 1, de hecho, tiene un significado: (- 1) agregó 1 vez que es (-1) en sí mismo … Entonces, podemos decir que la multiplicación, en general, no es conmutativa sobre el conjunto de enteros.

Pero por el momento supongamos que la multiplicación es conmutativa sobre el conjunto de enteros e intentemos darle un significado a la multiplicación por -1 (y, por lo tanto, todos los números negativos). Si se considera que la multiplicación es conmutativa sobre el conjunto de enteros, entonces debemos tener 1 × (-1) = (- 1) × 1 = -1 … Si consideramos que 1 es un punto en una línea desplazada 1 unidad desde un punto A (que representa 0), entonces -1 debe ser el punto en la misma línea a solo 1 unidad a la izquierda de A … Este es nuestro concepto de números negativos … ¿no? Ahora una observación cuidadosa revela que mientras multiplicamos 1 por (-1), uno puede pensar en la situación como el segmento de línea que une A y 1 que gira 180 ° en sentido antihorario, y el punto final del segmento de línea (que no sea A) en la nueva posición es la respuesta de la multiplicación … Esperanza entiendes mi punto …

Por lo tanto, hemos dado un significado a la operación matemática: multiplicación por -1, suponiendo que la multiplicación es conmutativa para el conjunto de enteros … Simplemente cambia un número 180 ° en sentido antihorario … Ahora es fácil decir qué (-1) × (- 1) debe ser ?? Debería ser 1 porque si vuelves a girar (-1) 180 ° en sentido contrario a las agujas del reloj, volverás a 1 …… .De ahí (-1) × (-1) = 1….

Finalmente, concluyamos diciendo que las Matemáticas a veces se originan a partir de la intuición lógica natural, a veces a partir de argumentos extravagantes y a veces solo para hacerlo coherente, hermoso, simétrico y más útil … Puede ser (-1) × (-1) también uno de ese tipo de argumento matemático que es extremadamente básico para la construcción actual de las Matemáticas pero que no fluye de nuestra lógica cotidiana. Esto justifica más o menos el hecho de que las Matemáticas son más una ciencia inventada en lugar de ser descubierta. !!!

[matemática] 1 + 1 = 2 [/ matemática] se puede “realizar” en el mundo real, pero esa no es la forma matemática de hacer las cosas. La forma matemática de hacer las cosas sería preguntar qué es 1. que es 2 Y pronto te das cuenta de que más o menos tienes que tomar algunas decisiones para comenzar a hablar sobre 1 y sobre la suma, y ​​que la forma más elegante de hacer las cosas es no definir mágicamente [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y demostrar que [matemática] 2 = 1 + 1 [/ matemática], pero es tomar [matemática] 2 = 1 + 1 [/ matemática], como la definición misma de 2. Las estructuras abstractas que pueden resultar de tal construcción, como Puede que los números naturales sean herramientas muy poderosas para analizar el mundo, pero puede concebirlos lógicamente sin ningún tipo de soporte físico. La prueba que daré no incluye la construcción de números enteros, pero los números enteros pueden construirse rigurosamente de tal manera que exiban todas las propiedades que usaré (pero la prueba en realidad tiene mucho más que números enteros)

Ahora [math] (- 1) * (- 1) = 1 [/ math] es algo para probar, pero primero tenemos que definir de qué estamos hablando.

En álgebra, tenemos una estructura muy abstracta que creo que se llama magma (su nombre en francés de todos modos), que es un conjunto de elementos con una ley de composición, que es una función que toma un par de elementos y los envía a uno elemento. Es una abstracción de lo que son las operaciones, como lo es la suma, pero también la multiplicación, o incluso la división, concatenación y más cosas locas que toman dos elementos.

Esta ley a menudo se observa como una multiplicación, especialmente cuando es asociativa ([matemáticas] (a \ veces b) \ veces c = a \ veces (b \ veces) [/ matemáticas]) para facilitar la notación, pero también porque algunas los resultados generales se mantienen debido a algunas propiedades generales de las multiplicaciones, y no debido a algunas particularidades de la multiplicación en los números reales ([matemática] (- 1) * (- 1) = 1 [/ matemática] es una de ellas, ya que ‘Veré).

De manera similar, si la ley también es conmutativa, es frecuente notarla +, y cuando un conjunto tiene dos leyes, una distributiva sobre la otra ([matemáticas] a \ times (b + c) = a \ times b + a \ veces c [/ math] y [math] (a + b) \ times c = a \ times c + b \ times c [/ math]), generalmente los notamos como multiplicación y suma, siempre que también satisfagan lo anterior ( una gran cantidad de estructuras comunes e interesantes tienen tales pares de leyes donde la multiplicación no es conmutativa, por eso no consideramos que una ley sea una multiplicación).

Finalmente, “1” generalmente se refiere a un elemento neutral para la operación denotada por multiplicación:

[math] \ forall a, 1 \ times a = a \ times 1 = a [/ math]

[math] 0 [/ math] denota el elemento neutral de la suma:

[matemáticas] \ para todos a, 0 + a = a [/ matemáticas]

Y [math] -a [/ math] se refiere al opuesto de [math] a [/ math] (si existe, y es único solo bajo algunos supuestos razonables sobre el magma considerado, es decir, la regularidad), es decir, un número tal que:

[matemáticas] a + (-a) = 0 [/ matemáticas]

(en particular, [matemática] -1 [/ matemática] se define por [matemática] 1 + (- 1) = 0 [/ matemática])

La última necesidad de suposición, y una menos obvia que debemos hacer es que la adición es regular:

[matemáticas] \ para todos a, b, c, a + b = a + c \ implica b = c [/ matemáticas]

[math] (- 1) * (- 1) = 1 [/ math] es en realidad una consecuencia directa de la declaración más simple (aún no comprobada):

[matemática] \ para todo a, (-1) * a = -a [/ matemática]

Para probar esta afirmación, primero debemos demostrar que:

[matemáticas] \ para todos a, 0 * a = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + 0 * a = 1 * a + 0 * a = (1 + 0) * a = 1 * a = a = a + 0 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] a + 0 * a = a + 0 [/ matemáticas]

Por regularidad, [matemática] 0 * a = 0 [/ matemática]

indicando [matemática] (- 1) * a = -a [/ matemática] es equivalente a [matemática] a + (-1) * a = 0 [/ matemática], por definición de [matemática] -a [/ matemática]

Por distributividad, sabemos que [matemáticas] a + (-1) * a = 1 * a + (-1) * a = (1 + (- 1)) * a = 0 * a = 0 [/ matemáticas]

En particular,

[matemáticas] (- 1) * (- 1) = – (- 1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] – (- a) = a [/ matemáticas]

proviene del hecho de que [matemáticas] a + (-a) = 0 = (-a) + (- (- a)) = (- (- a)) + (-a) [/ matemáticas]

Y regularidad.

Me encanta la prueba de álgebra abstracta de Max Sklar. Pero creo que tenerlo todo escrito se volvió un poco denso y podría ser difícil de seguir (creo que si lo seguiste pero hiciste cada paso tú mismo, sería fácil de hacer). Pero déjame darte una forma más básica de pensarlo.

(1) ¿Qué es la multiplicación? Se repite agregando. [math] 3 \ times4 [/ math] significa agregar 4 a sí mismo 3 veces. Entonces, en una recta numérica, comienza en 0, salta a 4 (1), salta a 8 (2) y salta a 12 (3). Entonces [matemáticas] 3 \ veces4 = 12 [/ matemáticas].

(2) Bien, entonces, ¿qué es [matemáticas] 3 \ veces-4 [/ matemáticas]? Tenemos que agregar -4 a sí mismo 3 veces. Entonces, comience en 0, salte a -4 (1). (Asumiré que te sientes cómodo con el hecho de que sumar dos números negativos te hace ir aún más negativo). Agrega otro -4, salta a -8 (2). Y luego salta a -12 (3). Entonces [matemáticas] 3 \ veces-4 = -12 [/ matemáticas].

(3) ¿Qué es [math] -3 \ times4 [/ math]? Ahora estamos comenzando con 4, pero en tu mente imagina lo que significa hacer lo contrario de saltar a 4 tres veces. Si con [math] 3 \ times4 [/ math] saltamos a 4, 8, 12, entonces si queremos hacer lo contrario, debemos ir a la izquierda. Entonces, comience en 0, salte a la izquierda 4 a -4 (1), luego salte a la izquierda nuevamente a -8 (2), luego salte a la izquierda nuevamente a -12 (3). Entonces [math] -3 \ times4 = -12 [/ math].

(4) Bien, ¿y si ambos números son negativos? [matemáticas] -3 \ veces-4 [/ matemáticas]? Bueno, sabemos por el párrafo (2) que [matemática] 3 \ veces-4 = -12 [/ matemática]: vas -4 veces tres veces, lo que significa que vas a la izquierda a -12. ¿Y qué si hacemos lo contrario de eso? Significa lo contrario de sumar -4 3 veces, por lo que es -4 a la derecha 3 veces. Entonces, comience en 0, salte hacia la derecha (porque quiere hacer lo contrario de sumar -4) a 4 (1), luego salte a 8 (2), luego salte a 12 (3). Entonces [matemáticas] -3 \ veces-4 = 12 [/ matemáticas].

Aquí está mi famosa metáfora que nunca ha ayudado a nadie. Imagine un automóvil sentado en cero en la recta numérica. Puede mirar hacia arriba la línea numérica en la dirección positiva, o puede mirar hacia abajo la línea numérica en la dirección negativa. Además, el automóvil tiene una marcha delantera (+) y una marcha atrás (-). Entonces, si desea conducirlo una distancia de 4, 3 veces, debe enfrentarlo hacia el 4. positivo. Luego, el 3 es positivo, así que póngalo en la unidad. Luego presione el acelerador. Subirá la línea numérica en la dirección positiva y terminará en 12.

Si desea multiplicar [matemática] 3 \ veces-4 [/ matemática], apunte el carro hacia abajo en la recta numérica, hacia el negativo, porque -4 es negativo. Póngalo de nuevo hacia adelante (+) porque el 3 es positivo, así que va hacia adelante y listo. El auto bajará por la recta numérica hasta -12.

-3 x 4? Apunte el automóvil hacia arriba en la recta numérica hacia +4. Pero ahora, el 3 es negativo, así que ponlo al revés (-) y listo. Vas a retroceder, bajar la recta numérica, hacia los negativos y terminar en -12.

Finalmente, [matemáticas] -3 \ veces-4 [/ matemáticas]. Apunte el automóvil hacia abajo de la recta numérica, hacia -4. Ahora el 3 es negativo, así que póngalo al revés (-) y listo. Vas a ir hacia atrás, pero ahora estás mirando hacia abajo en la línea numérica, por lo que el auto se moverá hacia arriba , hacia los aspectos positivos, y terminará en 12.

El primer número le indica la marcha del automóvil, hacia adelante (+) o hacia atrás (-). El segundo número le indica si el automóvil está mirando hacia arriba (+) o hacia abajo (-).

Lo mismo se aplica a [matemáticas] -1 \ veces-1 [/ matemáticas]. Cara negativa, luego ir en reversa. Terminarás en 1.

En la teoría de juegos combinatorios, los números (los números surrealistas) son una forma especial de juego de dos jugadores. Para todos los juegos (incluidos los números), la negación significa intercambiar a los jugadores; todos los movimientos y puntajes negros se convierten en movimientos y puntajes blancos, y viceversa. Debe quedar bastante claro que hacer esto dos veces te lleva de vuelta al punto de partida.

La mejor explicación (no probada) que me han dado funciona de la siguiente manera.

Suponga que está jugando y hay dos tipos de fichas, fichas rojas y fichas negras. Al final del día, obtendrá 1 $ por cada ficha roja y perderá 1 $ por cada ficha negra.

Luego:

[matemática] 1 * (1 $) = 1 $ [/ matemática] representa recibir una ficha roja.
[matemática] 1 * (- 1 $) = – 1 $ [/ matemática] representa recibir un chip negro.
[math] (- 1) * (1 $) = – 1 $ [/ math] representa perder una ficha roja.
[matemáticas] (- 1) * (- 1 $) = 1 $ [/ matemáticas] representa perder una ficha negra.

Cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número.
Por lo tanto, [matemáticas] -1 * 1 = -1 [/ matemáticas] – (1)

De 1):
[matemáticas] (- 1) / (- 1) = 1 [/ matemáticas] – (2)
Y
[matemáticas] ((- 1) * 1 / (- 1)) = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] (- 1) * (1 / (- 1)) = 1 [/ matemáticas] – (3)

De (2):
[matemáticas] 1 / (- 1) = (- 1) [/ matemáticas] – (4)

De (3) y (4)

[matemáticas] (- 1) * (- 1) = 1 [/ matemáticas]

Mi profesor enseñó esto, sé que esto no es una prueba, pero es solo una perspectiva diferente

[matemáticas] -3, -2, -1, 0, k [/ matemáticas]
Es una secuencia aritmética, k debe ser 1, ¿verdad?

[matemáticas]
(-1) * 3 = -3 [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) * 2 = -2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) * 1 = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) * 0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) * (-1) = k [/ matemáticas]

El resultado de los cálculos es como la secuencia aritmética, y k = 1, ¿verdad?

así que ahora obtenemos [matemáticas] (-1) * (- 1) = 1 [/ matemáticas]

¿Qué tal un enfoque de álgebra abstracta? Esto no sería accesible para la mayoría de los estudiantes de aritmética.

Primero, ¿qué es [matemáticas] -1 [/ matemáticas]? Es el inverso aditivo de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces, por definición [matemáticas] 1 + (- 1) = 0 [/ matemáticas]. Además, [math] 1 [/ math] se define como la identidad multiplicativa. Esto significa que [math] 1 \ cdot x = x \ cdot 1 = x [/ math] para cualquier número [math] x [/ math]. En particular [math] 1 \ cdot (-1) = (- 1) \ cdot 1 = -1 [/ math]. Por último, debemos establecer que [math] 0 = 0 \ cdot0 [/ math]. Ahora observa

[matemáticas] 0 = 0 \ cdot0 = (1 + (- 1)) \ cdot (1 + (- 1)) [/ matemáticas]

Usando la ley distributiva en el lado derecho obtenemos

[matemáticas] (1 + (- 1)) \ cdot (1 + (- 1)) = 1 \ cdot (1 + (- 1)) + (- 1) (1 + (- 1)) [/ matemáticas]

Aplicando más la ley distributiva, ampliamos para obtener

[matemáticas] 1 \ cdot1 + 1 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot1 + (- 1) \ cdot (-1) [/ matemáticas].

Me detengo aquí para observar que el último término es el que nos interesa. Queremos mostrar [math] (- 1) \ cdot (-1) = 1 [/ math], que es el inverso aditivo de [math] – 1 [/ matemáticas].

Entonces hemos establecido

[matemáticas] 1 \ cdot1 + 1 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot1 + (- 1) \ cdot (-1) = 0 [/ matemáticas]

El primer término es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] por la propiedad de identidad multiplicativa. El segundo y el tercer término son iguales a [matemática] -1 [/ matemática] por la misma razón. Entonces tenemos

[matemáticas] 1 + (- 1) + (- 1) + (- 1) \ cdot (-1) = 0 [/ matemáticas]

Ahora, la suma de los números reales es asociativa, por lo que podemos agregar estos números como lo elijamos. Entonces elijo

[matemáticas] (1 + (- 1)) + ((- 1) + (- 1) \ cdot (-1)) = 0 [/ matemáticas]

Evaluando la primera suma que obtenemos

[matemáticas] 0 + ((- 1) + (- 1) \ cdot (-1)) = 0 [/ matemáticas]

Como [math] 0 [/ math] es la identidad aditiva que obtenemos

[matemáticas] (- 1) + (- 1) \ cdot (-1) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] (- 1) [/ math] y [math] (- 1) \ cdot (-1) [/ math] son ​​inversos aditivos. Hay un resultado básico en la teoría de grupos de que los inversos son únicos. Por lo tanto, [math] (- 1) \ cdot (-1) = 1 [/ math], que es el inverso de [math] (- 1) [/ math].

Déjame darte las pistas más cortas sobre tu pregunta

1. Todas las tareas básicas en matemáticas se centran para encontrar la distancia.
2. Para menos o más algunos valores significa que está lejos de 0 (o punto de partida)
   (El centímetro (abreviatura, cm ) es una unidad de desplazamiento (distancia o longitud) en el sistema de unidades cgs (centímetro / gramo / segundo).

Pensemos que todo el proceso más se agrega a 0 Por ejemplo;

2 + 2 es = 0 (desde el punto de partida) agrega 2 = 2 (el nuevo punto es 2), luego camina 2 pasos más y estás en 4

Pero cuando quieras repetir este proceso hasta ahora, será difícil, así que necesitas Multiplicar

Multiplicar significa: X veces Y; imaginemos que su distancia de paso X, el recuento de pasos es Y

entonces 5 * 6 significa = su distancia de paso “” 5 y su conteo de pasos es 6, cuando agrega esto a un punto de inicio (0), se detendrá en el punto 30.

y aqui tu pregunta

Estás en -1 y lo repetirás -1 veces, lo que significa -1 veces -1 y tu nuevo punto en será -2, por lo que estás lejos de 0 en 2 pasos

pero hay una pregunta más curiosa: ¿por qué -3 * 5 es negativo?

Su distancia de paso es “5” y la repetirá 3 veces pero en sentido contrario (debido a “-“), mantengamos su punto de partida (0), parará 3 pasos más tarde y estará en el día 15 punto.

Puede verificar las pruebas matemáticas, pero quiero mostrarle un ejemplo de imaginación.

Esto parece un cachorro persiguiendo su cola. Si hoy me prestas un dólar, tenemos una deuda equivalente a $ 1; si me prestas otro, tenemos una deuda igual a $ 2. Si luego le pago un dólar, la deuda volverá a – $ 1. Pero si en cambio tomo prestado otro cuando ya le debo $ 2, la deuda es de $ 3. En estas mismas palabras, – $ 1 más – $ 1 no es igual a + $ 1 o 0, pero – $ 2 porque esto significa que te debo $ 2.00. Un menos es un menos a menos que sea anulado por un más, al igual que en física …

La razón por la que tenemos -1 x -1 es la convención en lugar de la verdad numérica. Solo estamos manipulando números. Y esto es por una razón:

Cuando pretendemos que +1 x -1 + = -1, estamos compensando -1 x -1 = +1. Esto no necesita una “teoría”. Es solo una técnica basada en la eveness. Si permitimos deliberadamente un positivo, debemos compensar permitiendo un negativo en otra parte. Esto es así porque entonces podemos crear un sistema de números que no esté involucrado en la auto cancelación llamado álgebra, no verdad, lo que a su vez nos permite tener un sistema que puede producir proezas de verdad. Esto, gracias a los eruditos indios y árabes, ¡muchos desconocidos pero no no amados!

Steve

Todas estas pruebas están usando una sintaxis matemática que yo diría que es pedante e innecesaria ya que cualquiera que sea capaz de leerlas ya sabe que (-1) * (- 1) es 1.

Si tiene -1 de algo, está almacenando una deuda o marcando que tiene un anti-algo. Como el signo negativo es binario (está allí o no está allí), cualquier negación adicional nos devuelve a los aspectos positivos. Tener una deuda negativa es tener riqueza. Para tener un anti-anti-algo, simplemente tienes un algo. Los números no importan tanto como la definición del símbolo de negación, que es con lo que estamos trabajando aquí.

Envíe uno de los (-1) al denominador. Después de todo 1 / (- 1) sigue siendo (-1). Este paso es realmente importante. Espero que entiendas la lógica.

Lo siguiente es realmente simple. La ecuación ahora se convierte en (-1) * (1 / -1). Cual es

-1 / -1

Y, como nos dicen las matemáticas básicas, cualquier número dividido por el mismo número (con la excepción de cero), SIEMPRE es +1.

Espero que ayude. ¡Salud! 🙂