Sea [math] G [/ math] = , donde [math] o (a) [/ math] = [math] \ big | G \ big | [/ math] = [ matemáticas] n [/ matemáticas]. Recuerde que Aut ([math] G [/ math]) es el conjunto de todos los automorfismos de [math] G [/ math] ( isomorfismos de [math] G [/ math] a [math] G [/ math]), y esto forma un grupo bajo composición de mapeos.
Deje [math] \ varphi \ en [/ math] Aut ([math] G [/ math]). Dado que cada [matemática] g \ en G [/ matemática] tiene la forma [matemática] a ^ k [/ matemática] para algunos [matemática] k \ in \ {1,2,3, \ ldots, n \} [ / math] y [math] \ varphi [/ math] es un homomorfismo , [math] \ varphi (g) = \ left (\ varphi (a) \ right) ^ k [/ math]. Entonces [math] \ varphi [/ math] está completamente determinado por su valor en el generador [math] a [/ math].
Suponga que [math] \ varphi (a) [/ math] = [math] a ^ k [/ math], para algunos [math] k \ in \ {1,2,3, \ ldots, n \} [/ math ] Como los automorfismos preservan el orden de los elementos,
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[matemáticas] o (a ^ k) = o \ big (\ varphi (a) \ big) = o (a) [/ math]. … ([Matemáticas] \ estrella [/ matemáticas])
Pero [matemáticas] o (a ^ k) [/ matemáticas] = [matemáticas] n / \ gcd (k, n) [/ matemáticas]. Entonces [math] k \ in \ {m: 1 \ le m \ le n, \ gcd (m, n) = 1 \} [/ math].
En otras palabras, las únicas opciones posibles para [math] \ varphi [/ math] son aquellas para las que [math] \ varphi (a) [/ math] = [math] a ^ k [/ math] con [math] \ mcd (k, n) = 1 [/ matemáticas]. … ([Matemáticas] \ estrella \ estrella [/ matemáticas])
Queda por demostrar que cada [matemática] \ varphi [/ matemática] satisfactoria ([matemática] \ estrella \ estrella [/ matemática]) es un automorfismo . Este es un ejercicio sencillo, y lo dejo para que el lector interesado lo verifique .
Por lo tanto
Aut ([matemática] G [/ matemática]) = [matemática] \ {\ varphi: \ varphi (a) = a ^ k, \ gcd (k, n) = 1 \} [/ matemática].
Como solo hay un grupo cíclico de orden [math] n [/ math], para cada [math] n \ in {\ mathbb N} [/ math], [math] G \ cong {\ mathbb Z} _n [/ matemáticas]. Hemos demostrado que
Aut ([math] {\ mathbb Z} _n [/ math]) [math] \ cong [/ math] [math] {\ mathcal U} \ big ({\ mathbb Z} _n \ big) [/ math],
donde [math] {\ mathcal U} \ big ({\ mathbb Z} _n \ big) [/ math] es el grupo multiplicativo de unidades en el anillo [math] {\ mathbb Z} _n. [/matemáticas]
En particular,
[matemáticas] \ izquierda | Aut ({\ mathbb Z} _n) \ right | [/ math] = [math] \ phi (n) [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
