¿Cómo puede ser válida la prueba del Último Teorema de Fermat, si se demostró utilizando matemáticas no presentes en el momento de Fermat?

Me pregunto si tu confusión podría ser simplemente uno de un nombre. En las matemáticas modernas, un reclamo se convierte en un teorema solo después de que se ha probado. Antes de eso, se llama una conjetura. Entonces, en la terminología moderna, el último “teorema” de Fermat no se convirtió en el último teorema de Fermat hasta que Wiles lo demostró a mediados de la década de 1990. Antes de eso, en realidad era la última conjetura de Fermat. La razón por la que se llamó teorema antes de que se probara es simplemente un artefacto histórico. No es sorprendente que las convenciones de nombres en matemáticas hayan cambiado en los últimos tres siglos y medio; después de todo, muchos aspectos del lenguaje han cambiado sustancialmente durante ese período de tiempo.

Alrededor de 1637, Pierre de Fermat escribió en latín en su copia de la Aritmética de Diophantus: “Cubum autem en duos cubos, aut quadrato-quadratum en duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam en infinitum ultra quadratum potestatem en duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet ” . (“Es imposible que un cubo sea la suma de dos cubos, un cuarto poder sea la suma de dos cuartos poderes, o en general, cualquier número que sea un poder mayor que el segundo sea la suma de dos poderes similares He descubierto una demostración realmente maravillosa de esta proposición de que este margen es demasiado estrecho para contenerlo “.)

Ahora olvídate de las curvas elípticas por un momento. ¡La prueba de Wiles tiene más de 100 páginas! Entonces pregunto … ¿Fermat estaba diciendo la verdad o estaba siendo jactancioso? Permítanme recordarle al lector que nadie sabía acerca de la nota que fue descubierta por el hijo de Fermat, Samuel, quien, en 1690, reeditó una versión de Arithmetica. con las anotaciones de su padre (ver abajo Observatio Domini Petri de Fermat ). La copia original del Diophantus Arithmetica de Fermat con sus anotaciones escritas. fue perdido o incluso destruido por su hijo mientras preparaba la edición de 1690 de Diophantus Arithmetica ( http://archive.wikiwix.com/cache …). No está claro qué beneficio se obtiene al mentirse a sí mismo, al escribir una nota personal que sabemos que es falso. Ahora, se pueden dar muchas razones por las cuales sería racional creer que Fermat no podría haber probado el llamado último teorema de Fermat. Sin embargo, queda una cierta duda. Los eruditos franceses se refieren a esto como l’énigme Fermat (enigma de Fermat). Aunque el último teorema de Fermat se ha resuelto, por ahora el enigma de Fermat permanece intacto.

Los matemáticos generalmente no requieren tales criterios de “factibilidad histórica”, a menos que esté haciendo una afirmación histórica (como la declaración de Fermat de que había encontrado una prueba general, que probablemente sea falsa: vea el enlace a continuación). Si alguien no hubiera desarrollado las nuevas matemáticas, entonces la prueba tal como la conocemos no existiría. En principio , podría haber una prueba diferente, una que solo usara los métodos disponibles durante el tiempo de Fermat. Pero realmente no importaría, en lo que respecta a demostrar la validez del teorema. Y probablemente no sería fácil de ninguna manera. Para dar un ejemplo de la física, Newton desarrolló su teoría del movimiento en este libro llamado “Principia Mathematica Philosophiae Naturalis” utilizando un tipo de razonamiento geométrico muy complejo (al menos para mí). Muchos libros de texto de hoy demuestran la validez de sus afirmaciones de una manera mucho más compacta, y eso no hace que las afirmaciones sean menos válidas. Realmente no importa qué camino sigas: si sigues las reglas y sigues llegando a la respuesta, ¡hurra! Para más información sobre el tema, vea las respuestas de Senia Sheydvasser y Richard Muller a ¿Hay alguna esperanza de una prueba elemental del último teorema de Fermat?

Me reí cuando leí esto. También podría preguntar cómo podrían volar las aves antes de que la gente resolviera la dinámica del vuelo. El teorema era cierto antes de que Fermat lo pensara, pero nadie lo sabía. Y después de que se encontró en la nota marginal de Fermat, todavía era cierto, pero nadie lo sabía con certeza. La prueba de Wiles era válida antes de que Wiles la encontrara, pero nadie lo sabía.

¿Qué son las nuevas matemáticas? Nuevas tecnicas? Cualquier prueba nueva es esencialmente una matemática nueva en el sentido de que no se había escrito antes, pero, aunque no lo supiéramos, siempre existió, por lo que no es nueva en ese sentido.

Te estas preguntando

(1) si la prueba moderna es correcta en el mundo de Fermat? o

(2) si la prueba moderna es insatisfactoria porque claramente no es una prueba que alguien en esa época podría haber imaginado?

Si (1), la prueba moderna es correcta en el mundo de Fermat (si podemos creer en los expertos y los árbitros, no estoy personalmente calificado para revisarla). Esto es válido tanto si los conceptos como la notación existían o no en la época de Fermat. Simplemente significa que Fermat y sus contemporáneos nunca habrían presentado esta prueba. No tenían las nociones o el vocabulario para ayudarlos a descubrir la línea de razonamiento necesaria. Pero con algo de entrenamiento y estudio, un Fermat reencarnado podría seguir y comprender la prueba.

Si (2), uno podría exigir una prueba “elemental” del último teorema de Fermat, sobre la base de que una nota de margen corto parece implicar una idea elemental. “Elemental” significa una idea que puede explicarse con los primeros principios y conceptos accesibles para un aficionado informado e inteligente. La prueba de Wiles es cualquier cosa menos elemental. El punto es que el teorema probablemente no tiene una prueba elemental. Entonces, tal vez eso sea decepcionante.

Para resumir, la prueba es ciertamente válida en cualquier época. Desafortunadamente, el tiempo transcurrido antes de que se encontrara incluso esta prueba difícil parece implicar que una prueba más simple y más elemental no está en las cartas. En palabras de Erdos, esta prueba probablemente no esté “en el libro”.

Sin detalles de la prueba de Fermat disponible, es completamente posible que su prueba fuera defectuosa y, por lo tanto, no existiera una prueba válida en ese momento. Se necesitaron 300 años para encontrar una prueba que pudiera resistir la revisión por pares. Ahora que se ha establecido una prueba, sabemos que la conjetura es cierta, por lo que hay poco que ganar desde una perspectiva matemática para encontrar la prueba de Fermat (si es que existe). Solo sería una curiosidad. El desafío estaba en encontrar una prueba, no en encontrar la prueba de Fermat. Entonces, sí, la prueba de Sir Andrew Wiles es perfectamente válida.

El problema es que no, no lo sabemos .

La prueba de Wiles es concreta y no viola ninguna ley matemática de la época de Fermat (o al menos eso me han dicho, quién puede seguir esa cosa).

La mayoría de los matemáticos profundizan mucho más en sus campos que usted y creo que Fermat no tenía una prueba simple para su último teorema.

Es probable que tuviera una prueba para n = 3 y supuso que sería fácil aplicar un método similar al resto de los números naturales.

Entonces, no, no es trampa, porque no estamos seguros de que sea posible de otra manera.

Salud

La implicación en el uso de nuevas matemáticas para probar el último teorema de Fermat es que estaba equivocado al pensar que tenía una prueba. Hay muchas pruebas que sugieren que no tenía una prueba, como el hecho de que nunca publicó una, aunque vivió durante algún tiempo después de afirmar que la había tenido; y que estaba equivocado acerca de otras pruebas que propuso.

Pero el problema parece tan simple, que todavía creo que hay una solución fácil y directa; que solo tendrá una idea, a través de la paciencia, la humildad y la perseverancia para trabajar en ello.

Una forma de mejorar su pregunta es preguntar: “Si Fermat realmente hubiera demostrado su conjetura como sugiere una nota al pie del manuscrito, ¿debería considerarse que la prueba obtenida con matemáticas que no estaba a su disposición carece de elegancia?”

Una prueba matemática es válida si y solo si su lógica es correcta.

Realmente no tiene nada que ver con si las matemáticas utilizadas para probar una conjetura fueron entendidas por la persona que propuso la conjetura, por ejemplo, ¡porque vivieron en una época anterior al desarrollo de esas matemáticas!

🙂

¿Cómo respiramos antes del descubrimiento de oxígeno?

¿Por qué no volamos al espacio antes del descubrimiento de la gravedad?

Las matemáticas utilizadas para demostrar el teorema de Fermat siempre fueron ciertas; simplemente no siempre lo hemos sabido.

Las matemáticas siempre están presentes. ¡Está esperando ser encontrado!