Los polinomios no tienen una forma “fácil” garantizada de factorizarlos. Por lo tanto, debe comenzar con la inspección, lo que significa que busca cualquier cosa que pueda ser una pista sobre cómo proceder. Aquí es donde se prueba tu habilidad matemática.
Tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas]. Esta es la pista. Si elige [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas], la ecuación es igual a 0. Por lo tanto, -2 es una raíz de la ecuación.
Ahora se prueba tu conocimiento matemático. El teorema fundamental del álgebra te dice que hay una relación simple entre los factores de un polinomio y sus raíces. En particular, si [math] a [/ math] es la raíz de una ecuación, entonces [math] (x – a) [/ math] es un factor. Entonces podemos eliminar un factor de inmediato.
- ¿El universo está controlado por las matemáticas o la física?
- ¿Existe una fórmula que tenga tanto una raíz compleja muy simple como una raíz real trascendental?
- Cómo resolver log 36 a la base 16 = 1 - log x a la base de 4
- ¿Cuánto se basan las matemáticas aplicadas en las matemáticas puras?
- ¿Cuáles fueron los logros de Pitágoras?
[matemáticas] a = -2 [/ matemáticas] por lo que el factor es [matemáticas] (x + 2) [/ matemáticas]. Podemos escribir la ecuación completa con el polinomio restante, o el resto: [matemáticas] (x + 2) R (x) = x ^ 3 + 8 [/ matemáticas]. Ahora podemos usar la división larga polinómica para encontrar [matemáticas] R (x) [/ matemáticas]. En la división larga polinómica, combinas las potencias de x comenzando con la mayor potencia y siguiendo el resto como si estuvieras haciendo una división larga en un número.
[matemáticas] \ frac {x ^ 3 + 8} {x + 2} [/ matemáticas]
Aparentemente, el comando de látex para la división larga no está incluido en quora, por lo que no puedo reproducir la división larga. Pero los pasos son así:
1. Cociente [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Reste [math] (x ^ 3 + 2x ^ 2) [/ math] del dividendo. El nuevo dividendo es [matemático] -2x ^ 2 + 8 [/ matemático].
2. Cociente [matemática] -2x [/ matemática]. Reste [math] (- 2x ^ 2 -4x) [/ math] del dividendo. El nuevo dividendo es [matemático] 4x + 8 [/ matemático].
3. Cociente [matemática] 4 [/ matemática]. Reste [matemáticas] (4x + 8) [/ matemáticas] del dividendo. El resto es 0. (el resto debe ser cero ya que sabemos que [math] (x + 2) [/ math] es un factor.
El cociente ahora muestra: [matemáticas] x ^ 2 – 2x + 4 [/ matemáticas], que es el otro factor R (x) que nos permite escribir:
[matemáticas] x ^ 3 +8 = (x + 2) (x ^ 2 – 2x + 4) [/ matemáticas]
Pero, ¿cómo sabemos que [matemática] x ^ 2 – 2x + 4 [/ matemática] no se puede factorizar? Bueno, por inspección vemos que esta es una función creciente (nunca disminuye), por lo que solo puede cruzar cero una vez y, por lo tanto, no tiene otros factores reales. Si quisiéramos encontrar los factores complejos, simplemente podríamos completar el cuadrado:
[matemáticas] 0 = x ^ 2 – 2x + 4 = x ^ 2 – 2x + 1 + 3 = (x – 1) ^ 2 + 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] -3 = (x – 1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 1 \ pm i \ sqrt {3} [/ matemáticas]
para que podamos escribir [matemáticas] x ^ 3 +8 = (x + 2) (x- 1 – i \ sqrt {3}) (x- 1 + i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]