La divisibilidad es la relación en discusión. Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son enteros positivos, [matemática] a \, | \, b [/ matemática] es la notación para [matemática] a [/ matemática] dividiendo [ matemática] b [/ matemática], es decir, hay algún número entero positivo [matemática] c [/ matemática] tal que [matemática] ac = b. [/ matemática]
Bajo esa relación, los enteros positivos forman un conjunto parcialmente ordenado. Además, es una red. Un enrejado es un conjunto parcialmente ordenado que se encuentra y se une. Una reunión [matemática] a \ wedge b [/ matemática] para dos elementos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es su límite inferior más grande, donde por límite inferior de dos elementos se entiende un elemento menor o igual a ambos, y por el límite inferior más grande de dos elementos se entiende un límite inferior que es mayor o igual que cualquier otro límite inferior. Una combinación [matemática] a \ cuña b [/ matemática] para dos elementos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es su límite superior mínimo, definido de manera análoga.
En el caso de que lo estemos considerando, las reuniones son los mayores divisores comunes, y las uniones son los múltiplos menos comunes. [matemáticas] a \ cuña b = \ hbox {mcd} (a, b) [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ vee b = \ hbox {mcm} (a, b). [/ matemáticas]
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Una red es distributiva si las siguientes dos identidades se mantienen
[matemáticas] (a \ cuña b) \ vee c = (a \ vee c) \ cuña (b \ vee c) [/ matemáticas]
[matemáticas] (a \ vee b) \ cuña c = (a \ cuña c) \ vee (b \ cuña c) [/ matemáticas]
Hay una redundancia en ese requisito ya que cualquiera de las identidades se sigue de la otra, y para cada una de las desigualdades siempre se mantiene. Eso significa que podemos reducir el requisito de distributividad a solo esta desigualdad:
[matemáticas] (a \ cuña b) \ vee c \ leq (a \ vee c) \ cuña (b \ vee c) [/ matemáticas]
Para la red bajo consideración, eso significa
[matemáticas] \ hbox {mcm} (\ hbox {gcd} (a, b), c) \ leq \ hbox {gcd} (\ hbox {lcm} (a, c)), (\ hbox {lcm} (b , c)) [/ matemáticas]
La forma más fácil de hacerlo es utilizar la factorización única de enteros positivos en productos de potencias de primos.
