Cuando un árbol cae, ¿la parte superior del árbol excede la velocidad de otra cosa que cae desde esa misma altura?

Seguro. Cae mucho más rápido que una hoja de una de sus ramas superiores que se desprende cuando el árbol cae. La razón es que la parte superior del árbol se ve mucho menos afectada por la fricción del aire que una hoja. Por otro lado, una bola de boliche caerá más rápido que el árbol (en parte debido a la fricción, pero más importante porque los árboles generalmente no caen libremente, generalmente giran hacia el suelo alrededor de un pivote).

Pero siempre debe tener en cuenta que los objetos en el vacío en caída libre caen con la misma mecánica. Entonces, una pluma y una bola de boliche lanzadas desde la misma altura en el vacío golpearían el suelo simultáneamente.

¿Respuesta corta? Depende.

¿Respuesta larga?

Si descuido la resistencia del aire, puedo aproximar el escenario a una viga (longitud 2r) con la fuerza de peso actuando en el centro de gravedad (r metros desde la base). Por lo tanto, dado que la base del árbol actúa como un pivote, la parte superior del árbol acelerará más rápido que el centro de gravedad.

Supongamos que el par en cualquier instante es constante a lo largo del árbol.

Para una desviación de la vertical, θ, el vector de peso perpendicular al árbol es:

[matemáticas] F = mg \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el par en el centro de gravedad es:

[matemáticas] T = Fr = mgr \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

También sabemos que el par es equivalente a:

[matemáticas] T = I \ alpha = mr ^ 2 \ alpha [/ matemáticas]

Asumimos aquí que el árbol puede aproximarse a un punto de masa en su centro de gravedad. Esto nos permite sustituir el término mr ^ 2 por I.

Resolver esto da:

[math] mgr \ sin {\ theta} = mr ^ 2 \ alpha [/ math]

[matemáticas] g \ sin {\ theta} = r \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha = \ frac {g \ sin {\ theta}} {r} [/ matemáticas]

La aceleración angular, denotada alfa, es constante a lo largo del árbol. Dado que la aceleración lineal, a, es igual al producto de la aceleración angular y la distancia desde el punto de pivote. La aceleración de la copa del árbol es por lo tanto:

[matemáticas] L = 2r [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 2r \ alpha = 2g \ sin {\ theta} [/ matemáticas]

La aceleración en la dirección vertical se encuentra usando trigonometría:

[matemáticas] y = a \ sin {\ theta} = 2g \ sin ^ 2 {\ theta} [/ matemáticas]

En otras palabras. Cuando:

θ <45 °, y

θ = 45 °, y = g;

θ> 45 °, y> g.

Resolver esta ecuación diferencial no lineal no es sencillo, pero si lo hace bien, encontrará que el tiempo que tarda el árbol en impactar con el suelo depende del ángulo inicial del árbol. Por lo tanto, el ángulo inicial determina si el árbol golpeará el suelo antes que el objeto en caída libre lineal.

Si ese ángulo es mayor o igual a 45 °, puede estar seguro de que la parte superior del árbol definitivamente golpeará el suelo primero.

No sé cuánta resistencia al viento produciría en un árbol, pero entiendo que si estás en un poste de 7,5 metros y se rompe, es mejor que lo dejes ir y caigas directamente hacia abajo. Si montas el poste hacia el suelo, terminas golpeando el suelo aproximadamente 1,5 veces más rápido. No sé las matemáticas detrás de esto, pero tiene sentido que se tome más tiempo en aceleración en un arco.