¿Cuál es la forma más motivadora de introducir espacios de productos internos generales? Estoy buscando ejemplos que tengan un impacto real. Para los espacios euclidianos, relacionamos el producto escalar con el ángulo entre los vectores que la mayoría de las personas considera tangible. ¿Cómo podemos extender esta idea al producto interno de espacios de vectores generales tales como el conjunto de matrices, polinomios, funciones?

Las respuestas son todas sólidas, pero ellas mismas abordan el problema proporcionando ejemplos concretos nuevamente. Un estudiante reflexivo aún podría preguntarse por qué es útil abordar productos internos de manera tan abstracta cuando su motivación involucra solo unos pocos ejemplos concretos. ¿Por qué tener una definición tan general y resolver todos estos problemas difíciles si solo nos preocupamos por [matemáticas] l ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas] (estos son generalmente los únicos productos internos encontrados en tales Clases de introducción que tienen un impacto real de ingeniería, todas las demás generalmente se crean artificialmente para ejercicios o exámenes de tarea, lo sé porque he TA y calificado para tales clases muchas veces).

Por supuesto, la premisa es incorrecta; Existen toneladas de productos internos que hacen que tener una definición general sea muy útil, pero dado que esto nunca se articula en tales clases, el material resulta altamente desmotivado.

Miro los productos internos como una forma de cuantificar la independencia lineal, y los diferentes productos internos nos dan diferentes formas de hacer este tipo de medición, que puede ser más o menos relevante según el contexto. La base monomial podría ser muy linealmente independiente en el producto interno [math] l ^ 2 [/ math] por ejemplo (ortonormal, en realidad), pero están muy cerca de la dependencia lineal en el interior [math] L ^ 2 [/ math] producto. ¿En cuál confiamos? Bueno, si queremos asegurarnos de que estamos haciendo cálculos estables con respecto a las mediciones típicas de “energía”, entonces usamos este último. Ahora, ¿qué pasa si anticipamos que necesitaremos analizar funciones con un comportamiento oscilatorio conocido a priori, digamos cerca de un punto final de intervalo? Bueno, podemos introducir una función de ponderación en el producto interno que produce exactamente este efecto, y luego requerir que la base utilizada sea muy lineal independiente con este nuevo producto interno.

En otras palabras: en un espacio vectorial aburrido sin nada añadido, podemos hablar de independencia lineal y dependencia lineal, pero son conceptos puramente binarios. Puede usar cualquier conjunto de vectores como base siempre que ese conjunto sea linealmente independiente y lo suficientemente grande, pero esto no le dice nada acerca de cuánta información está codificada en qué componentes de la base. Los productos internos vienen a solucionar esta debilidad, y podemos adaptar los productos internos para proporcionar la información más relevante de acuerdo con el problema que estamos tratando de resolver. ¡El análisis resultante que usamos tiene una cuantificación incorporada también de acuerdo con el error de truncamiento, como el teorema de Plancheral, y es automáticamente en la norma con la que también estábamos interesados ​​en medir todo!

Un ejemplo destacado es si considera las funciones en el intervalo de 0 a 1, entonces calcular los coeficientes de Fourier es simplemente tomar productos internos. En términos más generales, resolver los problemas de Sturm-Liouville conduce a estos productos internos generales.