[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] f_ {X, Y} (x, y) = \ dfrac {1} {2 \ pi} e ^ {- \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2}} [/ matemáticas]
Como esta área es circular, parece ser la aplicación perfecta para coordenadas polares.
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[matemáticas] \ displaystyle P (0 <X ^ 2 + Y ^ 2 <4) = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ 2 \ dfrac {1} {2 \ pi} e ^ {- \ frac {( r \ cos \ theta) ^ 2 + (r \ sin \ theta) ^ 2} {2}} r \, dr \, d \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (0 <X ^ 2 + Y ^ 2 <4) = \ dfrac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ 2 e ^ {- \ frac {r ^ 2} {2}} r \, dr \, d \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (0 <X ^ 2 + Y ^ 2 <4) = \ dfrac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ left. -e ^ {- \ frac {r ^ 2} {2}} \ right | _ {r = 0} ^ 2 \, d \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (0 <X ^ 2 + Y ^ 2 <4) = \ dfrac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} (1 – e ^ {- 2}) \, d \ theta [/ math]
[matemáticas] P (0 <X ^ 2 + Y ^ 2 <4) = \ left. \ dfrac {1} {2 \ pi} (1 – e ^ {- 2}) \ theta \ right | _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} [/ math]
[matemática] P (0 <X ^ 2 + Y ^ 2 <4) = 1 – e ^ {- 2} [/ matemática]
