¿Qué es la teoría de categorías?

La teoría de categorías es una de las ideas matemáticas más poderosas del siglo pasado. La teoría de categorías es un formalismo matemático que es una alternativa a la teoría de conjuntos. La idea fundamental de la teoría de categorías es la noción del diagrama conmutativo, que es una forma extremadamente poderosa de representar todo para lo que usarías otra cosa.

La teoría de categorías es increíblemente poderosa. Todos los días sigo encontrando conceptos y descubriendo que la forma más natural de pensar en ellos es desde una perspectiva categórica. Sin embargo, la teoría de categorías es extremadamente general; incluso los teóricos de grupo a menudo lo consideran como “sin sentido abstracto”.

Creo que dentro de cincuenta años la teoría de categorías será un campo matemático tan “aplicado” como el cálculo, el álgebra lineal o la teoría de la probabilidad; basado en su utilidad y amplia aplicabilidad. Sin embargo, por ahora, el uso principal de la teoría de categorías es la prueba de más resultados sobre la teoría de categorías en sí.

La teoría de categorías en muchos aspectos es aún más apropiada como “las leyes del pensamiento” que la lógica. Para representar y manipular conceptos y representaciones simbólicas de dominios, ningún otro formalismo matemático se acerca a la naturalidad de la teoría de categorías. Incluso ha habido documentos que sugieren que la teoría de categorías es la base matemática del pensamiento humano y la representación de problemas y la capacidad de resolución.

http://plato.stanford.edu/entrie…

La mejor introducción a la teoría de la categoría es probablemente el libro de Shanuel. Especialmente si está interesado en aplicar la teoría de categorías a dominios fuera de las matemáticas puras. Te sentirás esquizofrénico después de leer este libro, garantizado.

Matemática conceptual: una primera introducción a las categorías http://amzn.to/cNzvD4

Categoría TeoríaMatemáticasTeoría de conjuntos

En términos simples, ¿cómo es posible la paradoja de Banach-Tarski?

¿Podemos cambiar el orden del operador supremum? Deje que [math] a = \ sup_x \ sup_y f (x, y) [/ math] y [math] b = \ sup_y \ sup_x f (x, y) [/ math]. ¿Es siempre el caso que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]? Si no es así, ¿en qué condiciones es el caso que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]?

¿Cuántas colisiones hay en el conjunto de todos los resúmenes de valores md5 de más de 32 bytes y más de 33 + n bytes?

Tengo grandes habilidades con las personas, pero me gusta la idea de ser bueno en matemáticas. ¿Qué tengo que hacer?

¿Qué consejo le darías a alguien que piensa en una carrera en arquitectura?

¿Cuáles son algunas aplicaciones del mundo real de diversas áreas de las matemáticas?

La teoría de categorías comenzó su vida, históricamente, como un conjunto de herramientas para que los topólogos algebraicos hagan su trabajo (que, como resulta, generalmente no tiene casi nada que ver con la topología, y todo que ver con el álgebra). Resulta que está siendo estudiado por sí mismo en este momento (por un grupo muy pequeño de matemáticos), pero en su mayor parte, los matemáticos que usan la teoría de categorías regularmente siguen siendo algebraístas de varias bandas: topólogos algebraicos, geómetras algebraicos y buenos algebraístas anticuados. .

Para tener una idea de para qué teoría de categoría es buena (pero no cómo funciona en la práctica, eso tomará un año más o menos de álgebra de posgrado), aquí está mi teorema favorito de teoría de categoría aplicada (nota: ¡esto no es un oxímoron!) :

Teorema (Gelfand-Naimark (parafraseado, ha pasado un tiempo)):

Sea Haus la categoría de espacios de Hausdorff localmente compactos, y sea C * sea la categoría de álgebras conmutativas C *, entonces existe un functor contravariante C: Haus -> C * que envía cada espacio topológico X en Haus al álgebra conmutativa de funciones apropiadas continuas en él: C (X), y también existe un functor contravariante M: C * -> Haus que envía cada álgebra C * conmutativa A a Spec (A) – el espacio de caracteres de A, con la topología Gelfand .

Entonces C y M son una equivalencia de categorías.

Esto significa (para mí), básicamente, dos cosas enormes:

1) Por cada * teorema * que alguien haya probado sobre espacios topológicos, existe un teorema idéntico sobre álgebras conmutativas (contravarianza de módulo: las flechas van en sentido contrario), y viceversa.

2) Si toma un concepto de un lado u otro y lo relaja, esencialmente puede * definir * una nueva rama de las matemáticas: generalizar álgebras conmutativas C * para relajar la restricción conmutativa y ejecutar el functor similar a M, y obtienes un nuevo concepto de espacios topológicos, ¡pero ahora son espacios donde el álgebra de funciones continuas en ellos no es conmutativo!

La idea de mapear * teoremas * de una categoría a otra es (para mí) bastante sorprendente.

David Joyce

Serge Lang lo caracterizó en su libro Algebra como

“La lógica de las flechas”.

(estas pequeñas categorías tienen algunas flechas adicionales que no se dibujan, pero están implícitas en las definiciones de categoría, que se eligieron solo para restringir los posibles diagramas a los que “tienen sentido”. Así, por ejemplo, todos los puntos incluyen un bucle automático ⟳ que no se dibuja, y cualquier secuencia de flechas a → b → c implica que también la categoría contiene una flecha más larga a →vious c. Podría definir las cosas de otras maneras, pero esto es lo que los teóricos de C. han encontrado de la manera más fácil de hablar de categorías.)