Digamos que OH tiene longitud [matemática] \ delta [/ matemática] y etiquete el radio R. También digamos que la longitud de AB es [matemática] 10x + y [/ matemática], donde [matemática] x, y \ in \ { 0, …, 9 \} [/ matemáticas]. Esto hace que la longitud del CD [matemática] 10y + x [/ matemática].
Además sabemos que CH = HD = K porque el acorde es perpendicular al diámetro. Luego:
[matemática] (BH) (HA) = (CH) (HD) [/ matemática] [matemática] \ rightarrow [/ matemática] [matemática] (R + \ delta) (R – \ delta) = K ^ 2 [/ matemáticas]
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Sustituyendo la mitad del valor de AB por R y la mitad del valor de CD por K y simplificando se obtiene lo siguiente:
[matemáticas] (2 \ delta) ^ 2 = 4 (\ delta) ^ 2 = 99 (xy) (x + y) [/ matemáticas]
Esto implica que [matemáticas] 11 | 2 \ delta [/ math], pero como es cuadrado, esto significa que [math] 11 | (xy) (x + y) [/ matemáticas].
[matemáticas] x \ neq y \ rightarrow 11 \ nmid (xy) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 11 | x + y [/ matemáticas].
Esto limita las posibilidades a: (9,2), (8,3), (7,4) o (6,5), pero debido a que la diferencia también debe ser un cuadrado, esto significa que la única posibilidad es ( 6,5).
Por lo tanto, la respuesta es AB = 65.
