Los orbitales en un átomo son soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
En última instancia, son las propiedades de esa ecuación diferencial las que crean los nodos en las funciones de onda de estado límite u orbitales.
Podría señalarle una respuesta muy técnica a esta pregunta: existen fuertes resultados matemáticos sobre el patrón y el número de nodos en las funciones de onda de estado limitado discreto de la ecuación de Schrödinger de un cuerpo.
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Pero permítanme describir cualitativamente las razones por las que se forman los nodos en los estados unidos a la energía superior, observando el ejemplo unidimensional más simple.
Suponga que el potencial es muy simple: solo un pozo cuadrado de ancho [matemático] a [/ matemático] y profundidad [matemático] -V_0 [/ matemático], en una dimensión, y que buscamos una solución con energía total [matemáticas] E <0 [/ matemáticas].
Como el potencial es constante en todas partes, podemos resolver fácilmente la ecuación diferencial en cada región: las soluciones, formalmente, son funciones exponenciales. Dado que la ecuación es de segundo orden en el espacio, hay dos soluciones independientes, y dado que la ecuación es lineal, la solución general es una superposición de estas dos soluciones con coeficientes constantes.
Las soluciones independientes son [matemática] \ exp (\ pm kx) [/ matemática], donde [matemática] k [/ matemática] es una constante llamada número de onda.
En el interior del pozo, es fácil demostrar que [math] k [/ math] es imaginario, lo que significa que las soluciones oscilan allí, son superposiciones de senos y cosenos.
En las regiones exteriores, las funciones de onda tienen [math] k [/ math] real, por lo que son superposiciones de exponenciales crecientes y descendentes.
La normalización de la función de onda requiere que los exponenciales descendentes se elijan en el exterior; los exponenciales crecientes implicarían una probabilidad infinita de que la partícula se encuentre fuera del pozo en [math] x \ rightarrow \ pm \ infty [/ math], que no es físicamente significativo En cambio, el potencial limita la partícula a una pequeña región del espacio cerca del pozo, cuando se forma un estado unido.
Para obtener una solución a la ecuación en todo el espacio, exigimos que la función de onda y su primera derivada sean continuas a través de las discontinuidades en el potencial en [math] x = \ pm \ frac {a} {2} [/ math] – esto produce un conjunto de ecuaciones simultáneas que se pueden llamar condiciones de coincidencia, y estas deben resolverse.
Entonces, la razón de la presencia de nodos en los orbitales atómicos comienza a ser clara: las funciones de onda son oscilatorias en las regiones clásicamente permitidas dentro del pozo potencial, donde [matemáticas] E <V_0 [/ matemáticas] y la partícula es esencialmente libre para moverse, pero las soluciones decaen exponencialmente, en las regiones clásicamente prohibidas fuera del pozo, donde [matemática] E <0 [/ matemática], y el potencial es cero.
Si el pozo potencial es lo suficientemente profundo, de modo que [matemática] E [/ matemática] puede hacerse más grande y más grande, y las condiciones de coincidencia aún pueden cumplirse, entonces [matemática] \ vert k \ vert [/ matemática] en el interior también se hará más y más grande, y en términos lo suficientemente grandes [matemática] \ vert k \ vert [/ matemática] la solución desarrollará un nodo en la región interior: debe hacerlo, ya que el ancho del pozo [matemática] a [ / math] es una constante.
Si realiza todo el ejercicio de escribir las condiciones de coincidencia para el pozo cuadrado, lo cual es tedioso pero no demasiado difícil de hacer, encontrará que solo pueden satisfacerse para ciertos valores discretos de [matemáticas] E [/ matemáticas ], y que los estados ligados que tienen una energía cada vez más alta tienen una magnitud cada vez mayor de [math] k [/ math] en el interior, por lo que los estados más altos tienen más y más nodos dentro del pozo potencial.
Es un ejercicio simple para mostrar que el estado fundamental no tiene nodos.
Los orbitales del átomo de hidrógeno se pueden analizar de una manera muy similar, pero en ese caso, primero se reduciría el problema a un problema unidimensional, mediante la separación de variables en coordenadas polares. Es un poco más complicado, ya que el problema está en un intervalo semi-infinito y el potencial es de largo alcance, lo que significa que tiende a cero lentamente como [math] r \ rightarrow \ infty [/ math], y también es divergente en [ matemáticas] r = 0 [/ matemáticas], pero resulta que estas complicaciones no son graves.
Los principios son exactamente los mismos que para el pozo cuadrado: en general [matemática] r [/ matemática] las funciones de onda están decayendo exponencialmente, mientras que en pequeña [matemática] r [/ matemática], dentro de los puntos de inflexión clásicos, las soluciones son oscilatorio.
Entonces, la razón general por la que los nodos se forman en los orbitales atómicos de átomos de un solo electrón es la tensión entre el comportamiento oscilatorio de la función de onda en las regiones clásicamente permitidas y el comportamiento en descomposición en las regiones clásicamente prohibidas.
En los átomos de múltiples electrones, hay muchas más coordenadas, y muchas más razones por las que se forman nodos en las diversas coordenadas, que tienen que ver con el principio de exclusión de Pauli, pero esto es más complicado de discutir.
