¿Cómo explicaría el estudio del ‘Análisis armónico’ en las matemáticas actuales, de una manera que un niño inteligente de 12 años pudiera entender?

Los orígenes no están muy alejados de la palabra “armonía” y del estudio de cómo se superponen las ondas (supongo que puedes hacer experimentos musicales o incluso ondas estacionarias con tu hijo de 12 años). Pero la realización fundamental, y probablemente una de las mejores ideas en todas las matemáticas, es la transformación de Fourier y la noción de descomponer una función en una base constituyente conveniente. Esa es también la idea clave en las finanzas modernas, posiblemente, y en varias otras áreas también, por lo que probablemente sea un tiempo bien empleado.

Podría intentar comenzar con una función periódica e intentar replicarla con una suma de ondas de diferentes frecuencias. Algún cartón puede resultar dañado en el proceso. Hay algunos intentos de introducir la transformación de Fourier de forma intuitiva (como Una guía interactiva para la transformación de Fourier) y animaciones (por ejemplo, Visualizar la transformación discreta de Fourier) que no son difíciles de encontrar.

En la actualidad, esta noción de representación, y el campo del análisis armónico, se extiende a grupos abstractos y más allá de la definición habitual de función. Por lo general, la teoría de las distribuciones y la teoría de grupos no se enseñan a los niños de 12 años, sin duda, aunque podría intentar explicar una masa de puntos de Dirac y comunicarse con nosotros con los resultados.

Análisis armónico eh … Piense como una forma de expresar una función y = f (x) en (número infinito de coordenadas) coordenadas diferentes de (x, y). Fourier descubrió que cualquier curva puede expresarse como senos y cosenos. Ahora, ¿cómo encontrarías los valores de las coordenadas de la curva en senos y ejes cosenos (en otras palabras, coeficientes de Fourier)? Al tomar el producto de punto o proyectar (si ha aprendido sobre los productos de punto, sería más fácil, o la geometría simple es suficiente). En el cálculo se realiza mediante la multiplicación de la función dada y la coordenada utilizada (senos y cosenos), y luego se integra en el espacio (en la serie de Fourier). Una extensión adicional es la transformada de Fourier donde el espacio es [-inf, inf]. Es solo una alteración de la serie Fourier.
Su pregunta sería ¿por qué tener tanto dolor en encontrarlos?
En los sistemas eléctricos y ópticos, los senos y cosenos se usan con bastante frecuencia. Entonces se descomponen y luego se resuelven.