Tenga en cuenta que la función [math] n ^ n [/ math] está aumentando monotónicamente en [math] \ mathbb {N} [/ math].
Claramente, [matemática] 0 [/ matemática] no puede ser uno de los tres números ya que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no está definida.
Primero mostraremos que no hay soluciones cuando [math] a, b, c [/ math] son enteros positivos:
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Mostramos que
[matemáticas] (n + 2) ^ {n + 2}> (n + 1) ^ {n + 1} + n ^ n \: \ forall \: n \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]:
[matemáticas] (n + 2) ^ {n + 2} = [(n + 1) +1] ^ {n + 2} [/ matemáticas]
[matemáticas]> (n + 1) ^ {n + 2} + (n + 2) (n + 1) ^ {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas]> (n + 1) ^ {n + 1} + (n + 2) \ veces n ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas]> (n + 1) ^ {n + 1} + n ^ n [/ matemáticas]
Entonces, para dos enteros distintos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] más pequeña que [matemática] c [/ matemática] y [matemática] a <b [/ matemática]:
[matemáticas] a \ leq (c-2) [/ matemáticas] y [matemáticas] b \ leq (c-1) [/ matemáticas] para que
[matemáticas] a ^ a + b ^ b \ leq (c-2) ^ {c-2} + (c-1) ^ {c-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] <c ^ c [/ matemáticas]
Luego consideramos el caso cuando exactamente uno de los tres enteros es negativo. Este entero no puede ser otra cosa que [matemática] -1 [/ matemática], ya que de lo contrario un entero será igual a una fracción (no entera). Supongamos que uno de ellos es [matemática] -1 [/ matemática]. No puede ser [math] c [/ math] porque entonces dos números positivos se sumarían a un número negativo. Por lo tanto, suponga sin pérdida de generalidad que es [matemáticas] a [/ matemáticas]. En este caso tenemos una igualdad de la forma del caso 1, que ya hemos terminado.
Entonces, considere el caso cuando exactamente dos de los tres números son negativos. Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son esos dos números, entonces su suma no excede [matemática] \ dfrac {1} {64} + \ dfrac {1} {4} < 1 [/ math], y hemos terminado.
Cuando uno de ellos es [matemática] c [/ matemática] y el otro es [matemática] b, [/ matemática] nuevamente tenemos
[matemáticas] | c ^ c – b ^ b | <1 + \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {5} {4} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas].
Cuando cualquiera de [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática] es [matemática] -1, [/ matemática] claramente no hay solución. De lo contrario [matemáticas] | c ^ c – b ^ b | <\ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {27} <1 [/ matemática].
El último caso es cuando cada uno de los tres enteros es negativo:
Primero mostramos que [matemáticas] \ dfrac {1} {(n + 2) ^ {n + 2}} + \ dfrac {1} {(n + 1) ^ {n + 1}} <\ dfrac {1} {n ^ n} \: \ forall \: n \ in \ mathbb {N} [/ math].
[matemáticas] \ dfrac {1} {n ^ n} <\ dfrac {1} {(n + 1) ^ n} = \ dfrac {n + 1} {(n + 1) ^ {n + 1}} [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {(n + 1) ^ {n + 1}} + \ dfrac {n} {(n + 1) ^ {n + 1}} [/ matemáticas]
[matemáticas] <\ dfrac {1} {(n + 1) ^ {n + 1}} + \ dfrac {1} {(n + 2) ^ {n + 2}} [/ matemáticas]
Usando una idea similar al primer caso y el lema anterior, podemos mostrar que tampoco hay resultados esta vez (uno tendrá que tomar valores absolutos y luego comparar).
