Supongamos que [math] x [/ math] denota el supremum del conjunto [math] \ {a_n: n \ geq 1 \} [/ math]. En otras palabras, [math] x: = \ text {sup} \ left (a_n \ right) _ {n = 1} ^ \ infty [/ math].
Ya que [math] a_n \ leq M [/ math] para todos [math] n \ geq 1 [/ math] y [math] M \ in \ mathbb {R} [/ math], podemos concluir que [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]. La secuencia [math] \ left (a_n \ right) _ {n = 1} ^ \ infty [/ math] converge a [math] x [/ math].
Para mostrar que [math] \ left (a_n \ right) _ {n = 1} ^ \ infty [/ math] converge a [math] x [/ math], debemos mostrar que,
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[matemáticas] \ forall \ varepsilon> 0 \; \; \ exist N \ geq 1 \; \; | a_n-x | \ leq \ varepsilon \; \; \ forall n \ geq N [/ math].
Sea [math] \ varepsilon> 0 [/ math] un número real arbitrario.
Como [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], [math] x- \ varepsilon [/ math] está bien definido, y tenemos [math] x- \ varepsilon <x [/ math]. Como [math] x [/ math] es el supremum del conjunto [math] \ {a_n: n \ geq 1 \} [/ math], [math] x- \ varepsilon [/ math] no puede ser un límite superior para el conjunto [math] \ {a_n: n \ geq 1 \} [/ math]. Por lo tanto, podemos encontrar una [matemática] N \ geq 1 [/ matemática] tal que [matemática] x- \ varepsilon \ leq a_N \ leq x [/ matemática]. Como [math] a_ {n + 1} \ geq a_n [/ math] para todos [math] n \ geq 1 [/ math], podemos mostrar que [math] a_n \ geq a_N [/ math] para todos [math ] n \ geq N [/ math]. Por lo tanto, [math] – \ varepsilon \ leq a_n-x \ leq 0 [/ math] para todos [math] n \ geq N [/ math]. Por lo tanto, tenemos [math] | a_n-x | \ leq \ varepsilon [/ math] para todos [math] n \ geq N [/ math].
Como [math] \ varepsilon [/ math] era arbitrario, esto es cierto para cada [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. Por lo tanto, la secuencia [math] \ left (a_n \ right) _ {n = 1} ^ \ infty [/ math] converge a [math] x [/ math], y es convergente.
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
