¿Es [matemáticas] 2 \ veces \ infty = \ infty [/ matemáticas]? ¿O es [math] \ infty + 1 = \ infty [/ math]?

Preguntas de este tipo se pueden responder, correcta pero humorísticamente, al referirse al llamado “Hotel Hilbert”. Estas son analogías divertidas pero respaldadas por las matemáticas de Cantor.

El Hotel Hilbert es un hotel ficticio que tiene un número infinito de habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4, 5, etc. (En términos matemáticos, esto es infinito contable ).

Los desafíos que surgen son como el viejo chiste sobre un hotel que está completamente ocupado, pero algunos VIP han llegado y se les debe dar una habitación. ¿Puede usted, el gerente, acomodar a este importante visitante? Sin trampas; ¡debes hacerlo de una manera matemáticamente sólida! No tienes habitaciones secretamente reservadas.

Si solo hay un VIP, hacemos lo siguiente: Le decimos a cada huésped que mueva exactamente una habitación a la derecha. Esto abre la sala # 1, que luego le damos a nuestro VIP. ¡Viola! Problema resuelto. De esto concluimos:

1 + infinito = infinito

Ahora, tomemos un escenario un poco más desafiante. Una vez más, el hotel está completamente ocupado. Pero ahora llega un número infinito de VIP y se les debe dar habitaciones para quedarse. ¿Cómo puede adaptarse a esta situación si es el gerente?

Supongamos que usted, como gerente, puede emitir una vez más una directiva universal para todos los invitados. Esta vez usted dice: “Todos, por favor, pasen a la habitación 2X, donde X es el número de habitación que tienen actualmente”.

Deberías poder ver que nadie se apaga; todos se mudan a una nueva habitación como antes, y hay una habitación para cada huésped actual. Pero después de que cada huésped actual se mude a la habitación 2 veces X, donde X es su número de habitación anterior, esto abre todas las habitaciones con números impares:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 …

El punto es: después de que todos se mudan a una habitación con número par, esto ahora abre un número infinito de vacantes. Todos los nuevos invitados que llegan, incluso un número infinito de ellos, ahora pueden tener su propia habitación. De esto concluimos:

2 * infinito = infinito

También puede resolver el problema al ver que los siguientes conjuntos están en correspondencia 1 a 1, aunque el primer conjunto parece tener el doble de miembros que el segundo:

{1, 2, 3, 4, 5 …}

{2, 4, 6, 8, 10 …}

¿Hay algunos infinitos que no pueden ser acomodados de esta manera? Si. El número de números reales, por ejemplo. Pero lo dejo como un problema separado.

PD. La división por infinito no se considera una operación legítima, ni siquiera por Cantor. Para dividir por infinito, necesitará usar la teoría de límites, que puede dar una multiplicidad de respuestas diferentes a infinito / infinito. Es por eso que su enfoque algebraico no está funcionando.

Un problema al responder su pregunta es que en realidad hay diferentes tamaños de infinito. Y realmente no puedes hacer aritmética normal con infinitos, como has descubierto.

Pero dejando esto de lado por un momento, en Matemáticas decimos que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad (tamaño) si podemos encontrar una correspondencia uno a uno entre ellos.

Entonces la respuesta a ambas preguntas es sí. Aquí está el por qué.

Imagine todos los números naturales N = {1,2,3, …} como su primer infinito, en realidad su primera colección infinita o conjunto para ser precisos.

Entonces, si desea un conjunto dos veces mayor, digamos X = {1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b, …} para mostrar que cada número del N original está allí dos veces.

Puedes formar un enlace entre los dos

N <-> X

1 <-> 1a

2 <-> 1b

3 <-> 2a

4 <-> 2b

y así. De esta manera, puede formar la correspondencia uno a uno, lo que significa que cada elemento en cada conjunto aparecerá exactamente una vez en la lista en cada lado, si baja la lista lo suficiente, pero podemos ver en el patrón que esto ya sucederá .

Para su segunda pregunta, es un poco más fácil. Mantenga N como antes y tenga Y = {0, 1, 2, 3, …}

N <-> Y

1 <-> 0

2 <-> 1

3 <-> 2

y así.

De la misma manera que esto conduce a resultados extraños que parecen poco intuitivos para la suma y multiplicación normales, no se puede dividir en ambos lados de la misma manera. Realmente no estás equiparando dos números como tales, sino emparejando los elementos en ambos lados.

Hilbert’s Hotel, es un útil experimento mental sobre esto.

Resulta que los números naturales, y los otros conjuntos aquí, son los conjuntos infinitos “más pequeños”. También hay infinitos infinitos, solo para agregar diversión. Aquí hay un video que explica eso.

Digamos que hay un café / restaurante en algún lugar, abierto 24/7/365, que ofrece recargas ilimitadas de café. Puedes pedir más café cuando lo desees y te volverán a llenar la taza.

No tiene mucho más que hacer, por lo que se sienta allí, 24/7/365, solicitando un reabastecimiento cada vez que lo necesite, y ellos lo obligan. Efectivamente tienes café infinito.

Ahora supongamos que se abre otro café / restaurante al otro lado de la carretera, también abierto las 24 horas, los 7 días de la semana, los 365 días del año, que también ofrece recargas ilimitadas, y para un cambio de escena de vez en cuando caminas por la carretera y tomas un poco de su café. (¡Al dueño de la cafetería no parece importarle!)

Mientras bebe el café, reflexiona sobre sus preguntas:

¿Es 2 × ∞ = ∞? Después de la apertura del segundo café / restaurante, ¿ahora tiene el doble de café que antes?

¿Es ∞ + 1 = ∞? La primera vez que bebe un café en un segundo café / restaurante, ¿cuánto * más * café está disponible para usted que antes de que abriera …?

¿Es [matemáticas] 2 \ veces \ infty = \ infty [/ matemáticas] ? ¿O es [math] \ infty + 1 = \ infty [/ math] ?

No existe un concepto único de infinito. En cambio, los matemáticos especifican cuidadosamente a qué infinito se refieren cuando usan uno de los conceptos.

Varias respuestas aquí (y en otros lugares) afirman que “el infinito no es un número “. La verdad es que hay muchos sistemas de números que incluyen uno o más números transfinitos perfectamente válidos, incluidos los números cardinales y surrealistas y la recta numérica real extendida.

El símbolo [math] \ infty [/ math] se usa generalmente en relación con la noción de límite. En ese caso, no debe reemplazar ninguno de los términos con “infinito”. En cambio, la expresión dirá lo que sucede cuando algún número se vuelve arbitrariamente grande. Por ejemplo, [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac1n = 0 [/ math] dice que el número [math] \ frac1n [/ math] se pone “tan cerca como desee” a cero como [math] n [/ math] se vuelve arbitrariamente grande. Un abuso de esta notación sería escribir [math] \ frac1 {\ infty} = 0 [/ math].

Un abuso similar sería escribir [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} 2 \ times n = \ infty [/ math] para significar que la expresión crece sin límite a medida que [math] n [/ math] obtiene arbitrariamente grande Se podría abusar más de esto para obtener [matemáticas] 2 \ veces \ infty = \ infty [/ matemáticas], pero definitivamente debe volver a las expresiones de límite originales si desea hacer operaciones aritméticas (como “dividir por infinito”, por ejemplo )

Cuando se trata de números cardinales (utilizados para el “tamaño” de conjuntos), el número transfinito más pequeño es [math] \ aleph_0 [/ math] y el siguiente más pequeño es [math] \ aleph_1 [/ math]. Para estos números y cualquier finito [matemática] n [/ matemática]:

• [matemáticas] \ aleph_i + n = \ aleph_i [/ ​​matemáticas]
• [matemáticas] n \ veces \ aleph_i = \ aleph_i [/ ​​matemáticas]
• [matemáticas] \ aleph_0 \ times \ aleph_0 = \ aleph_0 <\ aleph_1 [/ math]

Para los números surrealistas, el infinito que sigue a los números naturales se designa [math] \ omega [/ math]. La suma, la resta y la multiplicación están bien definidas en números surrealistas que producen diferentes surreales de manera que:

• [matemáticas] \ omega-1 <\ omega <\ omega + 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 2 \ veces \ omega = \ omega + \ omega> \ omega + n [/ matemáticas]

E incluso hay una raíz cuadrada bien definida que:

• [matemáticas] n <\ sqrt {\ omega} <\ omega-n [/ matemáticas]

Esperemos que pueda ver que el concepto de infinito es rico y, me atrevo a decirlo, infinitamente variado. El concepto intuitivo suele estar lleno de agujeros, paradojas y falacias. Definido rigurosamente, los diversos infinitos son profundamente gratificantes.

Matthew le ha dado aproximadamente la respuesta correcta al concepto de infinito al tomar en cuenta el espacio como posibilidades de correr en tiempos paralelos, que llamamos mundos en estos días. Ahora, las reglas de las matemáticas se inventan para encajar y adaptar algún tipo de concepto que tenga sentido en la economía de un momento dado / elegido. Infinito es un concepto que requiere comprender el origen del símbolo uno, 1, una línea con puntos infinitos encadenados / superpuestos / estirados hasta una extensión donde un centelleo da lugar a un ángulo. Sabemos que dentro de una serie de números que van de 0 a 1, las posibilidades son infinitas, por lo que nos aproximamos a cifras significativas, para tener una dimensión establecida en la tabla, algo fija. Colin especificó que los infinitos pueden tener diferentes tamaños, aunque el tamaño y el espacio son conceptos mutuamente excluyentes de energía que ocupa tiempo + materia, denotamos como dt + 1, donde el número de imaginación I se implica en la definición del espacio, que es un problema que sabemos que no tenemos ¡No conozco la debida apertura de la identidad de los sistemas en la vida real! Entonces diremos que 1 no es 1 en el tiempo dt + 1, aceptando, pero creyendo, que dt es una función de suma de puntos. Por lo tanto, podemos implicar que dt (i) + 1 = 1 – Omega, donde 1 es cualquier cosa que se observa directa o indirectamente por un ojo desnudo o equipado. Tendríamos que decir que la energía potencial Psi, en función de un operador algebraico R (i + 1), y la suma geométrica Zeta del múltiple de Riemann. A partir de entonces, Psi (R / Z) = /

No puedo enfatizar esto lo suficiente. Cuando desee abordar preguntas de este tipo, DEBE consultar las definiciones de los términos involucrados. Sin definiciones, los símbolos y las operaciones no tienen sentido. Pero las matemáticas son geniales porque todo tiene una definición que puedes verificar para ayudarte a entender cómo funcionan las cosas.

Las definiciones típicas de suma y multiplicación son funciones que mapean un par de números reales en un número real. Si consideramos la definición de los números reales, descubrimos que Infinity no es un número real. Entonces, las definiciones le dicen al uso de inmediato que las sumas y multiplicaciones que involucran el infinito ni siquiera están definidas: no pueden ser iguales porque no tienen un significado definido.

Dicho esto, las personas a veces usan un conjunto llamado números reales extendidos. Si investigamos este conjunto, aprendemos que Infinity es un elemento definido. Y cuando usamos este conjunto, aprendemos que las definiciones de las operaciones aritméticas también se extienden para que ALGUNAS (pero no todas) las operaciones que involucran Infinity estén realmente bien definidas. Y esas definiciones nos dicen inmediatamente cómo dar sentido a las preguntas que hizo. En el contexto de los reales extendidos, ambas afirmaciones que hizo son, de hecho, verdaderas.

Sin embargo, tenga en cuenta que no todas las operaciones que implican infinito se definen en los reales extendidos. Por ejemplo, [math] \ frac \ infty \ infty [/ math] no está definido, y tampoco lo está [math] \ infty – \ infty [/ math]. Entonces, cuando intentas pasar de [matemáticas] 2 \ cdot \ infty = \ infty [/ matemáticas] a 2 = 1, lo haces dividiendo ambos lados de tu ecuación por infinito. Pero rompiste las reglas ya que dividiste infinito por infinito, lo que no está permitido. Puede cometer un error similar al manipular la ecuación con la suma para concluir 0 = 1. ¿Puedes ver lo que es?

Un último pensamiento, si alguien intenta responder esta pregunta por usted sin referirse a las definiciones, probablemente sea mejor ignorarlas que creerlas. Pueden o no darle la respuesta correcta, pero no están demostrando cómo funcionan realmente las matemáticas. La intuición y los enfoques conceptuales tienen un papel importante en las matemáticas, pero ese papel no está en responder preguntas como esta. Estas ideas no pueden tener sentido sin comprender y emplear las definiciones apropiadas.

El problema aquí es que el infinito no es un número, es un concepto. Si fuera un número, podría aplicar las matemáticas para que sea más fácil de entender. Podría decir, por ejemplo, multiplicarlo por 0.000000000001 para llegar a un número manejable, pero no puede.

Infinito viene del latín y significa “No terminado” o “Sin fin”

Aquí hay un ejemplo. El número de átomos en el universo se estima en 10 ^ 80. Es un número muy grande pero no es infinito.

Aquí está otro. Puede escribir una cantidad infinita de números que se ajusten entre 0 y 1. Por ejemplo 0.1, 0.2, 0.3… 0.11, 0.12, 0.13…. Puede continuar para siempre y nunca podrá enumerar todos los números entre 0 y 1. Sin embargo, puede determinar cuál es su promedio (Es 0.5). Eso no tiene nada que ver con el infinito.

Infinito no es una respuesta finita como 5. No importa qué 5 no va a cambiar. 5 = 5 no importa cómo cambies los lados de la ecuación. En cuanto al infinito porque no es finito, tiene valores diferentes. Por ejemplo, tu ejemplo:

2 * ∞ = ∞

El valor para infinito a la izquierda no es el mismo que infinito a la derecha.

A mi modo de ver, a los matemáticos se les ocurrió un truco para evitar cosas que no saben. Al igual que decir 0/0 no está definido.

En primer lugar, debe entenderse que el infinito no es un número, sino una representación de un número inimaginablemente enorme que es muy difícil de determinar. Luego, hacer operaciones usando el infinito realmente no tiene ningún sentido porque es indeterminado y no sabes el valor exacto y lo único que sabes es que es un gran número.

Usando esta lógica, no puede decir que puedo cancelar el infinito en ambos lados para obtener 1 = 2 debido a todas las razones anteriores. Esta es una falacia matemática.

Infinito es más un concepto que un número, a pesar de que estamos usando un símbolo para representarlo.

Como acaba de descubrir, las operaciones aritméticas se encuentran con problemas cuando se usan en el infinito. Es un poco como preguntar qué naranjas divididas por manzanas equivalen. En ese ejemplo, estamos realizando una operación aritmética con algo que no es un número. Tenga en cuenta que hay diferentes categorías de infinito. Algunas de esas categorías pueden tener más ‘densidad’ hasta su infinito. Para ver algunos extremos en esta búsqueda infinito contable e incontable.

El infinito no es un número, sino un concepto. No es concreto, sino una idea. Por más conveniente que parezca referirse al infinito, tal vez en un límite, no tiene representación en términos reales como los números. El infinito se usa como límite. Por ejemplo, si pudiera decir “f (x) se acerca al infinito cuando x se acerca a 9”, pero no decimos “f (x) es igual al infinito en x igual a 9”. Decimos que algo se acerca al infinito si sigue creciendo más y más.

[matemáticas] 2 \ veces \ infty [/ matemáticas]

Si tomas un número grande y el doble, obtienes un número aún mayor.

[matemáticas] \ infty + 1 [/ matemáticas]

Tome un número grande y agregue [matemáticas] 1 [/ matemáticas], obtendrá un número mayor

Ambas declaraciones son lógicamente correctas

El problema es este. No tenemos nada más grande que el infinito, o al menos así es como se ha definido matemáticamente.

Entonces [math] \ infty ^ 2 = \ infty [/ math], simplemente no podemos decir qué hay más allá del infinito

Una cosa más.

[matemáticas] 2 \ veces \ infty = \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 = \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ matemáticas]

pero [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ math] es una forma indeterminada, no sabemos cuáles son.

Saludos 🙂

Bueno, infinito significa que puedes ponerle un valor. Podemos ponerlo en contraste, es un número con un valor y longitud indefinidos, por lo que cuando intentas agregar o multiplicar infinito, la respuesta es el infinito mismo. El cuadrado del infinito también es infinito

No, ambas afirmaciones son falsas.

2 * infinito = 2 infinito, y, infinito + 1 = infinito + 1.