Una secuencia aritmética [matemática] (a_n) [/ matemática] tiene términos con una diferencia común: [matemática] \ forall n, a_ {n + 1} -a_n = d [/ matemática].
Una secuencia geométrica [math] (g_n) [/ math] tiene términos con una relación común: [math] \ forall n, \ frac {g_ {n + 1}} {g_n} = r [/ math].
Para que una secuencia [math] (s_n) [/ math] sea aritmética y geométrica:
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- [matemáticas] s_0 = a_0 = g_0 [/ matemáticas]
- [math] s_1 = s_0 + d = rs_0 \ Rightarrow d = s_0 (r-1) [/ math]
- [matemáticas] s_2 = s_0 + 2d = r ^ 2s_0 \ Rightarrow d = \ frac12s_0 (r ^ 2-1) [/ math]
[matemática] \ Rightarrow s_0 (r ^ 2-2r + 1) = 0 [/ matemática]
[math] \ Rightarrow s_0 = 0 = d \ text {or} r = 1, d = 0 [/ math]
En el primer caso, la secuencia es solo ceros. En el segundo caso, la secuencia es una constante, [math] s_0 [/ math]. La suma de una secuencia de elementos [math] n [/ math] en cualquier caso es [math] n \ times s_0 [/ math]. Una secuencia infinita tiene suma cero en el primer caso y diverge para [math] s_0 \ neq0 [/ math] en el segundo caso.
Las únicas otras posibilidades son secuencias finitas con solo uno o dos elementos, para los cuales las sumas son triviales.
