Utiliza la ley de reflexión: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión,
donde el ángulo de incidencia es el ángulo de la trayectoria de incidencia a la normalidad en el punto de contacto y el ángulo de reflexión es el ángulo de la trayectoria de reflexión a la normalidad en el punto de contacto. 
(Fuente: Ley de Reflexión)
Si la superficie es circular, entonces lo normal coincide con el radio en el punto de contacto.
Así es como puede calcular matemáticamente el punto de contacto utilizando este hecho.
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Deje que la mesa de billar esté representada por el círculo unitario [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática]. (Podemos escalar adecuadamente el sistema de coordenadas para que el radio sea igual a uno).
Deje que la posición de la bola blanca sea [matemática] (a, 0) [/ matemática]. (Nuevamente, podemos rotar apropiadamente el eje de coordenadas para que la bola blanca se encuentre en el eje x positivo).
Ahora, la bola objeto puede estar en cualquier ubicación arbitraria en el círculo unitario, por ejemplo, [matemáticas] (r cos \ theta, r sin \ theta) [/ matemáticas], con [matemáticas] r <1 [/ matemáticas].
Deje que la posición del punto de contacto sea [matemáticas] (cos \ alpha, sin \ alpha) [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] \ alpha [/ math] es lo único desconocido.
Las pendientes de las líneas que unen el punto de contacto con la bola blanca (rayo incidente), el punto de contacto con el centro (normal) y el punto de contacto con la bola objeto (rayo reflejado) están dadas por
[matemáticas] m_1 = \ dfrac {\ sin \ alpha} {cos \ alpha – a} [/ matemáticas]
[matemáticas] m_2 = tan \ alpha [/ matemáticas]
[matemática] m_3 = \ dfrac {\ sin \ alpha – r sin \ theta} {cos \ alpha – r cos \ theta} [/ math]
Usando la ley de la reflexión, obtienes
[matemáticas] \ left \ vert \ dfrac {m_1 – m_2} {1 + m_1 m_2} \ right \ vert = \ left \ vert \ dfrac {m_2 – m_3} {1 + m_2 m_3} \ right \ vert [/ math] .
Eso te da una ecuación en una variable.
Alternativamente, puede configurar las ecuaciones en coordenadas rectangulares para obtener dos ecuaciones en 2 incógnitas.
