Me dicen que podría haber afirmaciones verdaderas en una teoría matemática que no son demostrables. ¿Qué quiere decir uno con la “verdad” de una declaración matemática no demostrable?

Lo que significa es que se cumple en todos los casos, pero que no hay pruebas más cortas que solo inspeccionar cada caso. Lo cual es imposible, cuando hay un número infinito de casos.

Para ilustrar, tome el famoso último teorema de Fermat, que no hay soluciones enteras para [matemáticas] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemáticas] para n> 2. Para que sea “verdadero” simplemente significa que se cumple para cada número entero n (y a, byc). Esa noción no implica pruebas en absoluto; simplemente no se dan cuenta. Es simplemente una cuestión de dibujar la tabla y echarle un vistazo. Lo que sería posible si n se limitara a un número finito de posibilidades: podría construir una prueba para n = 3, n = 4, n = 5, etc.

Y de hecho, ese fue el caso: se han construido pruebas para todo hasta n = 100,000, si no recuerdo mal, y un número infinito de otros casos. Pero eso no lo lleva a ninguna parte cerca de una prueba para * cada * n.

Todos estaban razonablemente seguros de que era cierto, pero sin una prueba, no podían estar seguros. Finalmente se encontró una prueba, pero no hay razón para pensar que tenía que existir. Podría ser cierto pero no demostrable. La gente incluso había hecho un esfuerzo para tratar de demostrar que no era demostrable, pero desde que se encontró una prueba, sabemos que era falsa por contradicción.

Aún así … sabemos que existen cosas que son ciertas en todos los casos, pero que no existen pruebas finitas. Lo sabemos por los teoremas de incompletitud de Godel, que lo demuestran. Pero no prueban que ningún teorema particular sea verdadero pero no demostrable. Construye un modelo matemático para algo como “Este teorema no es demostrable en este sistema”. Es verdadero (en cuyo caso no es demostrable, como afirma) o falso (en cuyo caso es cierto que el teorema no es demostrable). Estoy dejando de lado los detalles cruciales, pero el punto es que hemos demostrado que existen teoremas verdaderos pero no demostrables sin realmente construir uno.

No conozco ninguna declaración interesante que sea demostrablemente demostrable. (Hay casos en los que puede probar que una declaración es independiente de los otros axiomas y, por lo tanto, se puede considerar que es verdadera o falsa y que lleva a conclusiones diferentes, pero esa es una pregunta diferente). La noción se cierne sobre cada problema no resuelto en matemáticas, que tal vez no sea posible demostrarlo. Pero la prueba del último teorema de Fermat muestra que solo fallar (¡durante siglos!) En encontrar la prueba no significa que no exista. El espacio de las pruebas es, en sí mismo, infinito, y es posible que tenga que mirar mucho más lejos de lo que esperaba.

¿Alguna vez has pensado en los dígitos de pi? La mayoría de las personas los consideran aleatorios o “casi aleatorios”. Es una idea bastante divertida, y se necesitan muchas matemáticas avanzadas para avanzar mucho en la definición de la palabra al azar de manera precisa y efectiva.

Para obtener más información sobre esto en términos formales, disfrute mirando la aleatoriedad de Kolmogorov

Para un ejemplo simple de una declaración que parece verdadera y no demostrable, considere esto:

Imagine todas las potencias enteras positivas de 2 : 2, 4, 8, 16, y así sucesivamente.

Del mismo modo, podemos imaginar todas las potencias enteras de 7 : 7, 49, 343, etc.

Al soltar la palabra entero para mayor claridad en la declaración, podemos notar que:

No hay potencia de 7 cuyos dígitos, cuando se invierten, forman una potencia de 2.

Es verdad, ¿no es así? Podemos ver fácilmente que la posibilidad de una coincidencia accidental comienza pequeña y se vuelve más pequeña tan rápidamente que cualquier modelo razonable de los dígitos de poderes sucesivos de 2 o 7 termina sugiriendo que la probabilidad total de una coincidencia se reduce tan rápido que es cero para cualquier fin práctico.

¿Pero cómo podemos probarlo?

Nunca he oído hablar de una teoría lo suficientemente poderosa como para probarla, y dudo que exista dentro de las matemáticas actuales.

Has simplificado demasiado esa afirmación en cuestión. Lo que en realidad dice es que cualquier sistema matemático suficientemente poderoso incluye enunciados válidos que no son demostrables DENTRO DE ESE SISTEMA. Como se ha demostrado la existencia de tales afirmaciones, los matemáticos no están interesados ​​en construir ejemplos.

Lo atrapaste. Esas son declaraciones que no pueden probarse correctas o incorrectas utilizando la deducción lógica y nuestro conjunto actual de axiomas.

“Esta declaración no es demostrable” es en sí misma una declaración, y puede ser difícil de probar e incluso no demostrable.

No profundizaré más en las cosas que otras personas ya explicaron bien, solo te daré ejemplos de tales declaraciones, que se ha demostrado que no se pueden probar (por lo general, lleva a aceptarlas o lo contrario como axiomas de una teoría, si necesario) :

Postulado Paralelo
Hipótesis continua
Axioma de elección