Cómo resolver [math] sinx + \ sqrt {3} cosx \ lt 1 [/ math] donde [math] 0 \ le x \ le \ pi [/ math]

Utilice la identidad [math] {\ sin} ^ {2} (x) + {\ cos} ^ {2} (x) = 1 [/ math] para llegar a una expresión para [math] \ cos (x) [/ math], [math] \ sqrt {1 – {\ sin} ^ {2} (x)} [/ math].

Ahora, sustituya esto por [math] \ cos (x) [/ math], ¡y luego resuelva!

[matemáticas] \ displaystyle \ sin (x) + \ sqrt {3} \ sqrt {1 – {\ sin} ^ {2} (x)} <1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {3 – 3 {\ sin} ^ {2} (x)} <1 - \ sin (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 3 – 3 {\ sin} ^ {2} (x) <1 - 2 \ sin (x) + {\ sin} ^ {2} (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 0 <4 {\ sin} ^ {2} (x) - 2 \ sin (x) - 2 [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle 0 <2 {\ sin} ^ {2} (x) - \ sin (x) - 1 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle 0 <\ left (2 \ sin (x) + 1 \ right) \ left (\ sin (x) - 1 \ right) [/ math]

Caso 1: [matemática] 0 <2 \ sin (x) + 1 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin (x)> – \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x> \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {11 \ pi} {6} [/ matemáticas]

Estas soluciones están fuera de alcance, por lo que no son sus soluciones. Vamonos…

Caso 2: [matemáticas] 0 <\ sin (x) - 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (x)> 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x> \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Estas soluciones parecen ajustarse a nuestra gama, por lo que tenemos un conjunto.

Manteniendo ambas limitaciones, obtenemos nuestra solución como:

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {\ pi} {2}

Espero que esto ayude.

Tenga en cuenta que [math] sin (x) + \ sqrt {3} cos (x) <1 [/ math] es equivalente a

[matemáticas] 2 (\ frac {1} {2} sin (x) + \ frac {\ sqrt {3}} {2} cos (x)) <1 [/ matemáticas]

[matemática] cos (\ frac {π} {3}) sin (x) + sin (\ frac {π} {3}) cos (x) <\ frac {1} {2} [/ matemática]

[matemática] sin (x + \ frac {π} {3}) <\ frac {1} {2} [/ matemática]

Esto se logra cuando: [matemática] \ frac {π} {6}

Se deduce que [matemáticas] \ frac {π} {6} – \ frac {π} {3}

debido a las restricciones de la pregunta:

[matemáticas] 0

Exprese [math] sinx + \ sqrt {3} cosx [/ math] como [math] Rsin (x + \ alpha) [/ math]

[matemática] Rsin (x + \ alpha) = Rsin (x) cos (\ alpha) + Rcos (x) sin (\ alpha) = sinx + \ sqrt {3} cosx [/ math]

Comparando coeficientes de sinx y cosx en ambos lados:

[matemática] Rcos (\ alpha) = 1 [/ matemática] y [matemática] Rsin (\ alpha) = \ sqrt {3} [/ matemática]

Al dividir ambas ecuaciones obtenemos [math] tan (\ alpha) = \ sqrt {3} [/ math] [math] \ implica [/ math] [math] \ alpha = \ frac {\ pi} {3} [/ math ]

Cuadrar ambas ecuaciones y sumarlas nos da [matemática] R ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 [/ matemática] entonces [matemática] R = 2 [/ matemática]

Ahora tenemos la desigualdad [math] 2sin (x + \ frac {\ pi} {3}) <1 [/ math]

[matemática] sin (x + \ frac {\ pi} {3}) <\ frac {1} {2} [/ matemática]

Para obtener el rango de valores de x, resuelva la ecuación [math] sin (x + \ frac {\ pi} {3}) = \ frac {1} {2} [/ math] y dibuje la gráfica de [math] sin ( x + \ frac {\ pi} {3}) [/ math] para ver visualmente dónde el gráfico es menor que 0.5. El gráfico es solo una curva sinusoidal que se desplaza hacia la izquierda por [math] \ frac {\ pi} {3} [/ math] unidades.

La respuesta final es [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} <[/ matemáticas] [matemáticas] x <\ pi [/ matemáticas]

Usando identidad estándar:

asinx + bcosx ≡ √ (a² + b²) sin {x + arctan (b / a)}

2sin (x + π / 3) <1

sin (x + 60 °) <½

150 ° ≤x + 60 ° ≤180 ° →

90 ° ≤ x ≤ 120 ° en el rango dado