Las estructuras básicas son conjuntos, listas, pares ordenados, triples ordenados, números, puntos, etc.
De estos, los conjuntos son los más poderosos y pueden representar a los demás, mientras que los otros no son tan poderosos. Por ejemplo, los conjuntos pueden representar la noción de números, puntos y líneas, mientras que los puntos no pueden representar todos los conjuntos.
Aquí hay algunos ejemplos:
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Conjuntos versus pares ordenados
Par ordenado: (a, b) y (b, a) son pares ordenados diferentes. Como tal, es difícil usar el concepto de par ordenado para representar listas desordenadas.
Conjuntos: sabemos que el orden no importa, por lo que {a, b} y {b, a} son iguales. Pero, ¿se pueden usar conjuntos para representar pares ordenados? SI. (a, b) se define como {a, {b}} = {{b}, a} por lo que, aunque los conjuntos no están ordenados, podemos representar un par ordenado.
Números versus conjuntos
Números: 0, 1, 2, 3, 4, etc. ¿Podemos representar conjuntos con números? Difícil.
Conjuntos: ¿podemos representar estos números con conjuntos? SI.
0 se define como {}, conjunto nulo.
1 se define como {{}}, conjunto que contiene un conjunto nulo.
2 se define como {{}, {{}}}, conjunto que contiene todos los conjuntos anteriores.
3 se define como {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, conjunto que contiene todos los conjuntos anteriores.
4 se define como {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}}, conjunto que contiene todos los conjuntos anteriores.
Parece complicado, pero resulta ser útil y simple.
Por ejemplo, ¿cuál es el máximo de dos números a y b? Es simplemente la unión de las representaciones establecidas AU B.
Por ejemplo, Max de 3 y 4 es {{}, {{}}, {{}, {{}}}} U {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, { {}}}}} = 4.
Otra forma de representar números con conjuntos:
0 = {}
1 = {{}}
2 = {{{}}}
3 = {{{{}}}}
4 = {{{{{}}}}}
En esta representación, el sucesor de N es N + 1 = {N}, conjunto que contiene N.
El predecesor de N es N-1, que es el único elemento de N, a menos que N no tenga elementos, porque o no tiene predecesor.
Hay muchas cosas que se pueden hacer con conjuntos.
Por ejemplo, definir infinito como un conjunto que tiene un tamaño equivalente como un subconjunto, por ejemplo, el conjunto de números naturales tiene el mismo tamaño que el conjunto de números pares.
Por ejemplo, definir grupos como conjuntos con operaciones binarias con elementos inversos y de identidad.
Los conjuntos son los conceptos matemáticos más flexibles y permiten la construcción de todo tipo de entidades matemáticas.
